Задание 18 ОГЭ по математике

1. 1. Способ 1 — формула по координатам. S = ½ · |1·(3 − 6) + 5·(6 − 1) + 2·(1 − 3)| = ½ · |−3 + 25 − 4| = ½ · 18 = 9.
2. 2. Способ 2 — достраивание. Опишем вокруг треугольника прямоугольник по клеткам: x от 1 до 5, y от 1 до 6, его площадь 4 · 5 = 20.
3. 3. Отрезаем три угловых прямоугольных треугольника: у стороны AB катеты 4 и 2, площадь 4; у стороны BC катеты 3 и 3, площадь 4,5; у стороны CA катеты 1 и 5, площадь 2,5.
4. 4. Площадь треугольника: 20 − (4 + 4,5 + 2,5) = 20 − 11 = 9. Совпало.
5. 5. Способ 3 — формула Пика. На границе лежит 6 узлов: три вершины плюс по одному узлу на AB (это точка (3; 2)) и двум узлам на BC (точки (4; 4) и (3; 5)). Внутри 7 узлов.
6. 6. S = В + Г/2 − 1 = 7 + 6/2 − 1 = 7 + 3 − 1 = 9. Все три способа дали 9.

Ответ: Ответ: 9

1. 1. Основания — горизонтальные стороны. Нижнее AB: от x = 0 до x = 6, значит AB = 6. Верхнее DC: от x = 1 до x = 4, значит DC = 3.
2. 2. Высота — расстояние между горизонталями y = 0 и y = 3, то есть h = 3. Наклонные боковые стороны в вычислении не участвуют вообще.
3. 3. S = ((6 + 3)/2) · 3 = 4,5 · 3 = 13,5.
4. 4. Проверка по Пику: на границе лежит 11 узлов (7 на нижнем основании, 4 на верхнем — с учётом того, что вершины считаются один раз), внутри 9 узлов. S = 9 + 11/2 − 1 = 9 + 5,5 − 1 = 13,5 — совпало.
5. 5. Ошибка, дающая ответ 27: умножают на сумму оснований (6 + 3), забыв поделить её пополам.

Ответ: Ответ: 13,5

1. 1. Считаем «ступеньку»: по горизонтали Δx = 7 − 1 = 6 клеток, по вертикали Δy = 10 − 2 = 8 клеток.
2. 2. Отрезок AB — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8.
3. 3. AB = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
4. 4. Это знакомая тройка 6-8-10, поэтому ответ получился целым — составители подбирают числа именно так.
5. 5. Ошибка, дающая ответ 14: складывают клетки по горизонтали и вертикали (6 + 8), то есть меряют путь «лесенкой», а не по прямой.

Ответ: Ответ: 10

1. 1. Первое, что делают в любой задаче на решётке, — смотрят, нет ли стороны, лежащей ровно по линиям клеток. Если есть, задача решается в одну строку, и никакие дополнительные построения не нужны.
2. 2. Смотрим на координаты. У точек A(3; 1) и B(3; 9) одинаковая абсцисса, равная 3. Значит отрезок AB вертикальный, он лежит на линии сетки. Берём его основанием.
3. 3. Длина основания: AB = 9 − 1 = 8 (разность ординат, потому что отрезок вертикальный).
4. 4. Теперь высота. Высота к вертикальному основанию — горизонтальный отрезок от точки C до прямой x = 3. Его длина равна разности абсцисс: h = 11 − 3 = 8.
5. 5. Площадь: S = ½ · 8 · 8 = 32.
6. 6. Ответ: 32.
7. 7. Приём в общем виде: если у треугольника есть горизонтальная или вертикальная сторона, её берут основанием, длину считают как разность одноимённых координат, а высоту — как разность координат по другой оси. Ни клетки считать, ни площади достраивать не нужно.
8. 8. Сравним с тем, что приходится делать, когда такой стороны нет. Тогда работают одним из двух способов. Способ «прямоугольник минус углы»: описывают вокруг треугольника прямоугольник по линиям сетки и вычитают из его площади три прямоугольных треугольника по углам. Способ «формула по координатам»: S = ½·|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|. Первый надёжнее, потому что видно, что считаешь; второй быстрее, но одна перепутанная координата ломает ответ без всяких признаков.
9. 9. Проверим наш ответ вторым способом, для тренировки. Описанный прямоугольник: по x от 3 до 11 (ширина 8), по y от 1 до 9 (высота 8), площадь 64. Из него вырезаются два прямоугольных треугольника: с катетами 8 и 4 (вершины A, C и проекция) — площадь 16, и с катетами 8 и 4 (вершины B, C и проекция) — площадь 16. Итого 64 − 16 − 16 = 32. Сошлось.
10. 10. И про оформление, потому что линия 18 входит в первую часть и оценивается только по ответу. Записывают число без единиц измерения: «32», а не «32 см²». Клетка в этих заданиях — безразмерная единица, и приписка единиц считается лишней записью, которая может помешать распознать ответ.

Ответ: 32