ОГЭ 2027 · Математика
Задание 17 ОГЭ по математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ОГЭ: №16 (окружность), №17 (четырёхугольники и площади), №19 (верные утверждения)
- Баллы
- по 1 первичному баллу за задание
- Частота
- формула длины окружности и суммы углов многоугольника встречаются и в №19
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Путают радиус и диаметр: C = 2πR, но C = πd
- В формуле площади круга возводят в квадрат π, а не радиус
- Считают сумму углов n-угольника как 180° · n вместо 180° · (n − 2)
- Думают, что сумма внешних углов зависит от n (она всегда 360°)
- Забывают, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Совет. Если в условии просят «считая π = 3», это подсказка: ответ должен получиться целым числом, и подставлять надо именно 3
Аналитика ОГЭ: №17 — площади фигур и свойства четырёхугольников
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Считают площадь ромба как произведение диагоналей без деления на 2
- В площади параллелограмма умножают две стороны вместо стороны и высоты
- Забывают полусумму оснований в площади трапеции и умножают на сумму
- Считают соседние углы параллелограмма равными, хотя они дают в сумме 180°
- Путают среднюю линию трапеции с высотой
Совет. У ромба и параллелограмма по две разные формулы площади. Смотри не на название фигуры, а на то, какие данные в условии: диагонали — значит половина произведения, сторона и высота — значит произведение
Разборы
Разбор примера
От диагоналей к стороне
Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдите сторону ромба.
Показать решение по шагам
- 1. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому получаются четыре равных прямоугольных треугольника.
- 2. Катеты каждого такого треугольника — половины диагоналей: 12 : 2 = 6 и 16 : 2 = 8.
- 3. Гипотенуза этого треугольника и есть сторона ромба: a = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
- 4. Проверка правдоподобия: сторона 10 меньше большей диагонали 16 и больше половины меньшей — всё логично.
- 5. Ошибка, дающая ответ 20: берут не половины, а сами диагонали и считают √(144 + 256) = 20 — то есть находят не сторону, а удвоенную сторону.
Ответ: Ответ: 10
Разбор примера
Диагональ под углом 45°
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 3 и 7.
Показать решение по шагам
- 1. Пусть трапеция ABCD, где BC = 3 — меньшее основание, AD = 7 — большее, и рассмотрим диагональ AC.
- 2. Опустим высоту CK на большее основание AD. Проекция диагонали AC на AD — это отрезок AK.
- 3. В равнобедренной трапеции AK равен полусумме оснований: AK = (7 + 3)/2 = 5.
- 4. В прямоугольном треугольнике ACK угол при вершине A равен 45°, значит треугольник равнобедренный: CK = AK · tg 45° = AK · 1 = 5.
- 5. Высота трапеции равна 5.
- 6. Ошибка, дающая ответ 2: за проекцию диагонали берут полуразность оснований (7 − 3)/2 = 2 — но полуразность равна проекции боковой стороны, а не диагонали.
Ответ: Ответ: 5
Разбор примера
Боковая сторона под углом 60°
В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 3, боковая сторона равна 5, а угол при большем основании равен 60°. Найдите большее основание.
Показать решение по шагам
- 1. Опустим высоты из обеих вершин меньшего основания на большее. Большее основание разбилось на три части: два одинаковых крайних куска и средний, равный меньшему основанию 3.
- 2. Крайний кусок — это проекция боковой стороны: она равна 5 · cos 60° = 5 · 0,5 = 2,5.
- 3. Большее основание = 2,5 + 3 + 2,5 = 8.
- 4. Проверка: высота трапеции равна 5 · sin 60° = 5 · (√3/2) ≈ 4,33, и она меньше боковой стороны 5 — правдоподобно.
- 5. Ошибка, дающая ответ 5,5: прибавляют проекцию только с одной стороны, забывая, что высоты опускаются из обеих вершин.
Ответ: Ответ: 8
Разбор примера
Разбор №17: средняя линия и площадь трапеции
Основания трапеции ABCD равны AD = 12 и BC = 8. Найдите среднюю линию MN трапеции. Затем, зная, что высота трапеции равна 4, найдите её площадь.
Показать решение по шагам
- 1. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Её главное свойство: она параллельна основаниям и равна их полусумме.
- 2. Считаем: MN = (AD + BC) : 2 = (12 + 8) : 2 = 20 : 2 = 10.
- 3. Теперь площадь. Формула площади трапеции: S = ½ · (a + b) · h, где a и b — основания, h — высота. Подставляем: S = ½ · (12 + 8) · 4 = ½ · 20 · 4 = 40.
- 4. Ответ: средняя линия 10, площадь 40.
- 5. Сопоставим две формулы, и станет видно, почему их удобно держать вместе. Полусумма оснований (12 + 8) : 2 = 10 — это и есть средняя линия. Значит S = MN · h: площадь трапеции равна средней линии, умноженной на высоту. Проверим: 10 · 4 = 40 — то же число. Формула короче и запоминается легче, а заодно объясняет, почему трапецию можно «выпрямить» в прямоугольник со сторонами MN и h.
- 6. Две ловушки этой линии. Первая — перепутать среднюю линию трапеции со средней линией треугольника. У треугольника средняя линия соединяет середины двух сторон и равна половине третьей. У трапеции — соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований. Утверждение «средняя линия треугольника равна половине его большей стороны» — неверное, и его специально ставят в линию 19: половине именно той стороны, которую она не задевает.
- 7. Вторая — забыть половину в формуле площади. Ответ 80 вместо 40 — самая частая ошибка. Проверка на правдоподобие: трапеция целиком лежит внутри прямоугольника со сторонами 12 и 4, площадь которого 48. Значит её площадь меньше 48. Сорок укладывается, восемьдесят — нет.
- 8. И обратные задачи, которые решаются теми же двумя формулами. «Площадь трапеции равна 42, основания 4 и 10 — найдите высоту»: h = 2S / (a + b) = 84 : 14 = 6. «Средняя линия равна 11, одно основание 15 — найдите второе»: a + b = 22, значит второе основание 22 − 15 = 7. В обоих случаях достаточно записать формулу и выразить нужную величину.
- 9. Полезно рядом держать и остальные площади четырёхугольников, потому что линия 17 берёт любую из них. Прямоугольник: S = ab. Параллелограмм: S = a · h (сторона на высоту к ней) или S = ab·sin α. Ромб: S = a · h, или S = ½d₁d₂ (половина произведения диагоналей), или S = a²·sin α. Трапеция: S = ½(a + b)h = MN · h. Ромб — единственная фигура, у которой площадь считают через диагонали, и это потому, что его диагонали перпендикулярны.
Ответ: средняя линия 10, площадь 40
Уроки по этой линии
- Длина окружности, площадь круга и многоугольники
- Задание 17: четырёхугольники и площади фигур
Потренируй задание 17
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.