Задание 19 ОГЭ по математике

1. 1. Линия 19 устроена несимметрично, и это надо учитывать в работе. Чтобы объявить утверждение верным, надо вспомнить теорему или определение. Чтобы объявить неверным, достаточно одного контрпримера — одной фигуры, на которой утверждение не выполняется. Второе почти всегда быстрее, поэтому начинать стоит с поиска контрпримера.
2. 2. Утверждение 1: «существует квадрат, который не является прямоугольником». По определению квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Значит любой квадрат является прямоугольником, и такого квадрата, о котором говорит утверждение, не существует. Утверждение неверно.
3. 3. Заметьте формулировку «существует». Опровергнуть её контрпримером нельзя — контрпример тут нужен автору утверждения, а не нам. Опровергается она ссылкой на определение: искомого объекта не бывает.
4. 4. Утверждение 2: «все диаметры окружности равны между собой». Диаметр — это хорда, проходящая через центр, и она состоит из двух радиусов. Радиусы одной окружности равны, значит каждый диаметр равен 2R, независимо от направления. Утверждение верно.
5. 5. Утверждение 3: «расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра равно радиусу». Это буквально определение окружности: окружность — множество точек, удалённых от центра на одно и то же расстояние, которое и называют радиусом. Утверждение верно.
6. 6. Верны утверждения 2 и 3, ответ: 23.
7. 7. Отдельно о ловушке, которая в этой линии встречается постоянно, — смешение окружности и круга. Окружность — это линия, и у неё есть длина (C = 2πR). Круг — это часть плоскости внутри окружности, и у него есть площадь (S = πR²). Утверждение «площадь окружности равна πR²» неверно именно потому, что у линии площади нет. Разница кажется придиркой, но в линии 19 на ней построены отдельные варианты.
8. 8. Свод верных утверждений про окружность, которого хватает на большинство вариантов. Все радиусы одной окружности равны. Диаметр равен двум радиусам, и все диаметры равны. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Около любого треугольника можно описать окружность, и в любой треугольник можно вписать окружность.
9. 9. И свод типичных неверных утверждений про окружность, чтобы узнавать их в лицо. «Любые две хорды окружности равны» — нет, хорды бывают разной длины. «Центр окружности лежит на любой её хорде» — нет, только на диаметре. «Около любого четырёхугольника можно описать окружность» — нет, только около того, у которого суммы противоположных углов равны 180°. «В любой параллелограмм можно вписать окружность» — нет, только в ромб.

Ответ: 23

1. 1. Утверждение 1. Это базовая теорема планиметрии: сумма углов треугольника равна 180°. Исключений нет — верно.
2. 2. Утверждение 2. У любого равностороннего треугольника все углы равны 60°. Значит у двух таких треугольников углы попарно равны, и по признаку подобия по двум углам они подобны. Стороны при этом могут различаться в любое число раз — подобию это не мешает. Верно.
3. 3. Утверждение 3. Ищем контрпример. Пусть угол равен 30°, он острый. Смежный с ним равен 180° − 30° = 150°, а это тупой угол. Контрпример найден — неверно.
4. 4. Более того, здесь контрпримером служит любой острый угол: смежный к острому всегда больше 90°.
5. 5. Верны утверждения 1 и 2, записываем номера по возрастанию без пробелов.

Ответ: Ответ: 12

1. 1. Вспоминаем критерии. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180°. Вписать окружность в четырёхугольник можно тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
2. 2. Утверждение 1. У параллелограмма противоположные углы равны, поэтому их сумма равна 180° только когда каждый из них равен 90°, то есть только у прямоугольника. Контрпример: параллелограмм с углами 60° и 120° — 60 + 60 = 120, а не 180. Неверно.
3. 3. Утверждение 2. У прямоугольника все углы по 90°, сумма противоположных равна 180°, значит окружность описать можно всегда; её центр — точка пересечения диагоналей, радиус — половина диагонали. Верно.
4. 4. Утверждение 3. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому равенство сумм противоположных сторон означает a + a = b + b, то есть a = b — все стороны равны, а это ромб. Контрпример: прямоугольник 3 × 8, в него окружность не впишешь. Неверно.
5. 5. Верно только утверждение 2.

Ответ: Ответ: 2

1. 1. Порядок работы: по каждому утверждению сначала пытаемся придумать контрпример, и только если не получается — ищем теорему, которая его подтверждает. Контрпример строится быстрее, чем вспоминается формулировка.
2. 2. Утверждение 1. Признаков равенства треугольников три, и в каждом участвуют три элемента: две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих угла; три стороны. Двух сторон недостаточно.
3. 3. Контрпример строится в уме: возьмём два треугольника со сторонами 5 и 5, но в первом угол между ними 30°, а во втором 120°. Стороны попарно равны, а треугольники совершенно разные: у первого третья сторона короткая, у второго длинная. Утверждение неверно.
4. 4. Утверждение 2. Подобие требует равенства всех углов. У прямоугольных треугольников совпадает только один угол — прямой. Контрпример: треугольник с углами 90°, 30°, 60° и треугольник с углами 90°, 45°, 45°. Оба прямоугольные, но не подобны — отношения сторон разные. Утверждение неверно.
5. 5. Утверждение 3. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Один из углов прямоугольного треугольника равен 90°, значит на два острых остаётся 180° − 90° = 90°. Это не отдельная теорема, а следствие теоремы о сумме углов, и опровергнуть его нельзя. Утверждение верно.
6. 6. Верно только утверждение 3, ответ: 3.
7. 7. Обратите внимание, что верным оказалось одно утверждение. Это нормально и встречается часто: в линии 19 верных может быть одно, два или все три, и ждать ровно двух нельзя. Отсюда правило: проверять надо все три утверждения, даже если два первых уже дали ответ, который «похож на правильный».
8. 8. Слова-сигналы, по которым сразу стоит насторожиться. «Любой», «всякий», «все» — утверждение сильное, и опровергнуть его хватает одного примера; такие утверждения ложны чаще, чем истинны. «Существует», «некоторый» — утверждение слабое, для подтверждения хватает одного примера, а для опровержения нужна ссылка на определение или теорему. «Только», «единственная» — почти всегда ловушка.
9. 9. И про подобие отдельно, потому что его путают с равенством. Подобны фигуры, у которых углы равны, а стороны пропорциональны. Для треугольников достаточно двух равных углов (третий тогда равен автоматически). Поэтому «любые два прямоугольных треугольника подобны» неверно, а вот «любые два равносторонних треугольника подобны» — верно: у всех равносторонних углы по 60°.

Ответ: 3

1. 1. Утверждение 1. Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого; они возникают при пересечении двух прямых. Теорема: вертикальные углы равны. Доказывается через смежные: каждый из них дополняет один и тот же угол до 180°. Утверждение верно.
2. 2. Утверждение 2. Смежные углы — те, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Их сумма равна 180°, а вот равны они только в одном случае — когда каждый по 90°.
3. 3. Контрпример очевиден: углы 60° и 120° смежные, их сумма 180°, но равными они не являются. Слово «всегда» делает утверждение ложным. Утверждение неверно.
4. 4. Утверждение 3. Это аксиома параллельных прямых в школьной формулировке: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Утверждение говорит «можно провести» — это ровно та часть аксиомы, которая утверждает существование. Утверждение верно.
5. 5. Верны утверждения 1 и 3, ответ: 13.
6. 6. Полезно заметить, как здесь сработало слово «всегда» во втором утверждении. Убери его — «смежные углы бывают равны» — и утверждение станет верным, потому что два прямых угла смежные и равны. Одно слово переворачивает истинность, поэтому в линии 19 условие читают дословно, не пересказывая себе своими словами.
7. 7. Свод верных утверждений про углы и прямые, которого хватает почти на всю линию. Вертикальные углы равны. Сумма смежных углов равна 180°. Через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая. Через любые две точки проходит ровно одна прямая. Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны, а односторонние дают в сумме 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов.
8. 8. И свод ложных, которые ставят в варианты постоянно. «Смежные углы равны» — нет, только если оба прямые. «Любые два угла с общей вершиной вертикальные» — нет. «Через любую точку плоскости проходит ровно одна прямая» — нет, прямых через точку бесконечно много. «В любом треугольнике есть тупой угол» — нет, у остроугольного нет. «Диагонали любой трапеции равны» — нет, только у равнобедренной. «У любой трапеции боковые стороны равны» — нет, это опять только про равнобедренную.
9. 9. Приём на случай, когда утверждение совсем незнакомое: нарисуйте его. Почти всякое ложное геометрическое утверждение рассыпается на первом же честном чертеже — надо только рисовать не «правильную» фигуру, а самую неудобную: очень вытянутый треугольник, очень скошенный параллелограмм, трапецию с резко разными боковыми сторонами.

Ответ: 13