ОГЭ 2027 · Математика

Задание 11 ОГЭ по математике

Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.

Аналитика ОГЭ: №11 — установите соответствие между функциями и их графиками

Баллы: 1 первичный балл
Частота: в каждом варианте
Сложность: базовый

Частые ловушки

Путают четверти гиперболы: при k > 0 это I и III, при k < 0 — II и IV
Не смотрят на знак коэффициента при x² и берут параболу не той направленности
Определяют прямую только по наклону, забывая про точку пересечения с осью Oy
Записывают цифры в порядке графиков, а не в порядке функций А, Б, В
Пытаются различить y = x² и y = 2x² по ширине — в ОГЭ это не проверяется

Совет. Решай от простого: сначала определи, какой график гипербола, какой парабола, какой прямая, — останется только выбрать знак

Разборы

Разбор примера

Полный разбор задания на соответствие

Установите соответствие между функциями и их графиками. Функции: А) y = −x² Б) y = −3/x В) y = x − 2. Графики: 1) парабола с ветвями вниз и вершиной в начале координат; 2) гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях; 3) прямая, пересекающая ось Oy в точке (0; −2).

Показать решение по шагам

1. Функция А: y = −x². Это квадратичная функция, значит график — парабола с вершиной в начале координат. Коэффициент при x² равен −1, он отрицателен, поэтому ветви направлены вниз. Подходит график 1.
2. Функция Б: y = −3/x. Это обратная пропорциональность, график — гипербола. Коэффициент k = −3 отрицателен, значит ветви лежат во II и IV четвертях. Подходит график 2.
3. Функция В: y = x − 2. Это линейная функция, график — прямая. При x = 0 получаем y = −2, значит прямая проходит через точку (0; −2). Подходит график 3.
4. Записываем цифры в порядке функций А, Б, В: 1, 2, 3.
5. В бланк идёт последовательность без пробелов и запятых: 123.

Ответ: Ответ: 123

Разбор примера

Найти коэффициент по точке на графике

График функции y = k/x проходит через точку (2; −6). Найдите k и определите, в каких четвертях расположены ветви гиперболы.

Показать решение по шагам

1. Подставляем координаты точки в формулу: −6 = k/2.
2. Умножаем обе части на 2: k = −12.
3. Коэффициент отрицателен, значит ветви лежат во II и IV четвертях.
4. Проверка: сама точка (2; −6) имеет x > 0 и y < 0, то есть лежит в IV четверти — согласуется с выводом.
5. Тот же приём работает для прямой: если y = kx + b проходит через (0; 3) и (1; 5), то b = 3 и 5 = k + 3, откуда k = 2.

Ответ: Ответ: k = −12; ветви во II и IV четвертях

Разбор примера

Три «неудобных» графика: корень, модуль и куб

Установите соответствие между функциями y = √x, y = |x|, y = x³ и описаниями их графиков: 1) линия проходит через начало координат, симметрична относительно начала, при больших x круто уходит вверх, при отрицательных x уходит вниз; 2) линия начинается в начале координат и идёт только вправо и вверх, всё более полого; 3) линия состоит из двух лучей, выходящих из начала координат вверх, симметрично относительно оси ординат.

Показать решение по шагам

1. y = √x. Корень определён только при x ≥ 0, значит вся линия лежит справа от оси ординат, начинается в точке (0; 0) и поднимается всё медленнее: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3 — шаг по x растёт быстрее, чем шаг по y. Это описание 2.
2. y = |x|. Модуль отрицательных чисел делает положительными, поэтому при x ≥ 0 это прямая y = x, а при x < 0 — прямая y = −x. Получается уголок из двух лучей, симметричный относительно оси ординат. Это описание 3.
3. y = x³. Кубическая парабола: (−2)³ = −8, (−1)³ = −1, 0, 1, 8. Значения знак сохраняют, поэтому линия идёт из третьей четверти в первую и симметрична относительно начала координат. Это описание 1.
4. Записываем соответствие в порядке функций: √x → 2, |x| → 3, x³ → 1, то есть 231.
5. Быстрая проверка любой из трёх — подстановка x = 4: √4 = 2 (точка (4; 2) низко), |4| = 4, 4³ = 64 (точка улетела вверх). Одна подстановка сразу разводит три графика.

Ответ: Ответ: 231

Разбор примера

Дробная функция с выколотой точкой

Постройте график функции y = (x² − 4)/(x − 2) и определите, чем он отличается от прямой y = x + 2.

Показать решение по шагам

1. Область определения: знаменатель не должен быть нулём, значит x ≠ 2. Это единственное ограничение, и именно оно даёт всю суть задания.
2. Раскладываем числитель на множители: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
3. Сокращаем: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 — но только при x ≠ 2.
4. Значит, график — это прямая y = x + 2, из которой выколота одна точка с абсциссой 2. Её ордината была бы 2 + 2 = 4, поэтому выколота точка (2; 4).
5. Вопрос «при каком значении m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку» для такой функции даёт ответ m = 4: при этом значении прямая проходит ровно через выколотую точку и общих точек с графиком не имеет вовсе, а при любом другом m — ровно одну.
6. Ошибка сюжета — сократить дробь и забыть про выколотую точку: тогда график становится обычной прямой, и всё задание теряет смысл.

Ответ: Ответ: график — прямая y = x + 2 с выколотой точкой (2; 4)

Разбор примера

Найти формулу параболы по графику

Парабола проходит через точки (0; 3), (1; 0) и (3; 0). Задайте её формулой вида y = ax² + bx + c.

Показать решение по шагам

1. Точки (1; 0) и (3; 0) — это нули функции, то есть корни уравнения ax² + bx + c = 0. Значит, параболу можно записать как y = a(x − 1)(x − 3).
2. Осталось найти a. Подставляем третью точку (0; 3): 3 = a(0 − 1)(0 − 3) = a · (−1) · (−3) = 3a.
3. Отсюда a = 1, и y = (x − 1)(x − 3).
4. Раскрываем скобки: y = x² − 3x − x + 3 = x² − 4x + 3. Значит a = 1, b = −4, c = 3.
5. Проверка по всем трём точкам: при x = 0 получаем 3; при x = 1 получаем 1 − 4 + 3 = 0; при x = 3 получаем 9 − 12 + 3 = 0. Всё сходится.
6. Полезный признак для быстрого опознания на экзамене: c — это ордината точки пересечения с осью ординат, её видно на чертеже сразу; а знак a виден по направлению ветвей.

Ответ: Ответ: y = x² − 4x + 3

Уроки по этой линии

Задание 11: графики функций и соответствие

Потренируй задание 11

Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.

Начать бесплатно

Аналитика ОГЭ: №11 — установите соответствие между функциями и их графиками

Баллы

1 первичный балл

Частота

в каждом варианте

Сложность

базовый

Частые ловушки

Путают четверти гиперболы: при k > 0 это I и III, при k < 0 — II и IV

Не смотрят на знак коэффициента при x² и берут параболу не той направленности

Определяют прямую только по наклону, забывая про точку пересечения с осью Oy

Записывают цифры в порядке графиков, а не в порядке функций А, Б, В

Пытаются различить y = x² и y = 2x² по ширине — в ОГЭ это не проверяется

Разборы

Разбор примера

Полный разбор задания на соответствие

Показать решение по шагам

1. Функция А: y = −x². Это квадратичная функция, значит график — парабола с вершиной в начале координат. Коэффициент при x² равен −1, он отрицателен, поэтому ветви направлены вниз. Подходит график 1.
2. Функция Б: y = −3/x. Это обратная пропорциональность, график — гипербола. Коэффициент k = −3 отрицателен, значит ветви лежат во II и IV четвертях. Подходит график 2.
3. Функция В: y = x − 2. Это линейная функция, график — прямая. При x = 0 получаем y = −2, значит прямая проходит через точку (0; −2). Подходит график 3.
4. Записываем цифры в порядке функций А, Б, В: 1, 2, 3.
5. В бланк идёт последовательность без пробелов и запятых: 123.

Ответ: Ответ: 123

Разбор примера

Найти коэффициент по точке на графике

Показать решение по шагам

1. Подставляем координаты точки в формулу: −6 = k/2.
2. Умножаем обе части на 2: k = −12.
3. Коэффициент отрицателен, значит ветви лежат во II и IV четвертях.
4. Проверка: сама точка (2; −6) имеет x > 0 и y < 0, то есть лежит в IV четверти — согласуется с выводом.
5. Тот же приём работает для прямой: если y = kx + b проходит через (0; 3) и (1; 5), то b = 3 и 5 = k + 3, откуда k = 2.

Ответ: Ответ: k = −12; ветви во II и IV четвертях

Разбор примера

Три «неудобных» графика: корень, модуль и куб

Показать решение по шагам

1. y = √x. Корень определён только при x ≥ 0, значит вся линия лежит справа от оси ординат, начинается в точке (0; 0) и поднимается всё медленнее: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3 — шаг по x растёт быстрее, чем шаг по y. Это описание 2.
2. y = |x|. Модуль отрицательных чисел делает положительными, поэтому при x ≥ 0 это прямая y = x, а при x < 0 — прямая y = −x. Получается уголок из двух лучей, симметричный относительно оси ординат. Это описание 3.
3. y = x³. Кубическая парабола: (−2)³ = −8, (−1)³ = −1, 0, 1, 8. Значения знак сохраняют, поэтому линия идёт из третьей четверти в первую и симметрична относительно начала координат. Это описание 1.
4. Записываем соответствие в порядке функций: √x → 2, |x| → 3, x³ → 1, то есть 231.
5. Быстрая проверка любой из трёх — подстановка x = 4: √4 = 2 (точка (4; 2) низко), |4| = 4, 4³ = 64 (точка улетела вверх). Одна подстановка сразу разводит три графика.

Ответ: Ответ: 231

Разбор примера

Дробная функция с выколотой точкой

Постройте график функции y = (x² − 4)/(x − 2) и определите, чем он отличается от прямой y = x + 2.

Показать решение по шагам

1. Область определения: знаменатель не должен быть нулём, значит x ≠ 2. Это единственное ограничение, и именно оно даёт всю суть задания.
2. Раскладываем числитель на множители: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
3. Сокращаем: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 — но только при x ≠ 2.
4. Значит, график — это прямая y = x + 2, из которой выколота одна точка с абсциссой 2. Её ордината была бы 2 + 2 = 4, поэтому выколота точка (2; 4).
5. Вопрос «при каком значении m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку» для такой функции даёт ответ m = 4: при этом значении прямая проходит ровно через выколотую точку и общих точек с графиком не имеет вовсе, а при любом другом m — ровно одну.
6. Ошибка сюжета — сократить дробь и забыть про выколотую точку: тогда график становится обычной прямой, и всё задание теряет смысл.

Ответ: Ответ: график — прямая y = x + 2 с выколотой точкой (2; 4)

Разбор примера

Найти формулу параболы по графику

Парабола проходит через точки (0; 3), (1; 0) и (3; 0). Задайте её формулой вида y = ax² + bx + c.

Показать решение по шагам

1. Точки (1; 0) и (3; 0) — это нули функции, то есть корни уравнения ax² + bx + c = 0. Значит, параболу можно записать как y = a(x − 1)(x − 3).
2. Осталось найти a. Подставляем третью точку (0; 3): 3 = a(0 − 1)(0 − 3) = a · (−1) · (−3) = 3a.
3. Отсюда a = 1, и y = (x − 1)(x − 3).
4. Раскрываем скобки: y = x² − 3x − x + 3 = x² − 4x + 3. Значит a = 1, b = −4, c = 3.
5. Проверка по всем трём точкам: при x = 0 получаем 3; при x = 1 получаем 1 − 4 + 3 = 0; при x = 3 получаем 9 − 12 + 3 = 0. Всё сходится.
6. Полезный признак для быстрого опознания на экзамене: c — это ордината точки пересечения с осью ординат, её видно на чертеже сразу; а знак a виден по направлению ветвей.

Ответ: Ответ: y = x² − 4x + 3