ОГЭ 2027 · Математика

Задание 10 ОГЭ по математике

Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.

Аналитика ОГЭ: №10 — найдите вероятность события

Баллы: 1 первичный балл
Частота: в каждом варианте
Сложность: базовый

Частые ловушки

Считают число исходов для двух кубиков как 12 вместо 36
При броске монеты дважды забывают, что ОР и РО — это разные исходы
В ответ пишут дробь вида 9/36, хотя нужна десятичная запись
Вероятность получается больше единицы — верный признак ошибки в подсчёте
Для события «хотя бы один» перебирают все случаи вместо перехода к противоположному

Совет. Записывай вероятность десятичной дробью: 9/36 = 0,25. И проверяй, что результат лежит между 0 и 1

Разборы

Разбор примера

Два броска кубика: считаем суммы

Симметричный игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность события «сумма выпавших очков равна 3, 4 или 5».

Показать решение по шагам

1. Общее число исходов: каждый бросок даёт 6 вариантов, броска два, значит n = 6 · 6 = 36.
2. Сумма 3 получается парами (1; 2) и (2; 1) — это 2 исхода.
3. Сумма 4: (1; 3), (2; 2), (3; 1) — 3 исхода.
4. Сумма 5: (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1) — 4 исхода.
5. Всего благоприятных: m = 2 + 3 + 4 = 9.
6. Вероятность: P = 9/36 = 1/4 = 0,25.

Ответ: Ответ: 0,25

Разбор примера

«Хотя бы один» — через противоположное событие

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Показать решение по шагам

1. Всего исходов: 2 · 2 · 2 = 8 (ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР).
2. Прямой перебор благоприятных исходов даёт 7 вариантов — можно, но легко сбиться.
3. Быстрее так: событие «хотя бы один орёл» противоположно событию «ни одного орла», то есть «все три раза решка».
4. «Все решки» — это ровно один исход РРР, его вероятность 1/8 = 0,125.
5. Значит P(хотя бы один орёл) = 1 − 0,125 = 0,875.
6. Проверка: 7/8 = 0,875 — совпало с прямым перебором.

Ответ: Ответ: 0,875

Разбор примера

Классическое определение на трёх бытовых сюжетах

а) В урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают один шар. Найдите вероятность того, что он белый. б) В лотерее 50 билетов, из них 8 выигрышных. Наугад покупают один билет. Найдите вероятность того, что он выигрышный. в) В классе 25 учеников, из них 10 девочек. Наугад выбирают дежурного. Найдите вероятность того, что дежурить будет девочка.

Показать решение по шагам

1. а) Всего шаров 3 + 7 = 10 — это число всех исходов. Подходящих (белых) 3. Вероятность: 3 : 10 = 0,3. Главная ловушка сюжета — взять знаменателем 7 (число чёрных) вместо 10.
2. б) Всего билетов 50, выигрышных 8. Вероятность: 8 : 50 = 0,16.
3. в) Всего учеников 25, девочек 10. Вероятность: 10 : 25 = 0,4. Число мальчиков (15) в задаче не нужно вовсе.
4. Во всех трёх случаях формула одна: P = m/n, где n — общее число равновозможных исходов, m — число подходящих. Меняются только декорации.
5. Контроль правдоподобия: вероятность всегда лежит между 0 и 1. Если получилось 3,33 или 1,6 — значит числитель и знаменатель переставлены местами.

Ответ: Ответ: а) 0,3; б) 0,16; в) 0,4

Разбор примера

Противоположное событие: когда считать «не то» быстрее

В ящике 40 деталей, из них 6 бракованных. Контролёр наугад берёт одну деталь. Найдите вероятность того, что она окажется годной.

Показать решение по шагам

1. Можно считать в лоб: годных деталей 40 − 6 = 34, вероятность 34 : 40 = 0,85.
2. Можно считать через противоположное событие. «Деталь годная» и «деталь бракованная» — события противоположные: одно из них обязательно происходит, и вместе они дают всю вероятность 1.
3. Вероятность брака: 6 : 40 = 0,15.
4. Значит, вероятность годной детали: 1 − 0,15 = 0,85.
5. Оба пути дали одно и то же, и это лучшая проверка. Приём «посчитать противоположное» окупается, когда подходящих исходов много, а неподходящих мало, — например, в вопросе «хотя бы один».
6. Форма ответа: 0,85, а не 34/40 и не 85 %.

Ответ: Ответ: 0,85

Разбор примера

Монету бросают три раза: дерево исходов

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что: а) все три раза выпадет решка; б) решка выпадет ровно два раза.

Показать решение по шагам

1. Опыт здесь тот же, что в разборе про «хотя бы один орёл», и взят он нарочно: сейчас мы решим вторым способом — не через противоположное событие, а полным перебором исходов. Сравнив два решения одного опыта, видно, когда какой способ короче: перебор нужен, если спрашивают «ровно столько-то раз», а противоположное событие — если спрашивают «хотя бы один раз».
2. Каждый бросок даёт 2 исхода, бросков три, поэтому всего исходов 2 · 2 · 2 = 8. Выпишем их: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР (О — орёл, Р — решка).
3. а) Подходит ровно один исход — РРР. Вероятность: 1 : 8 = 0,125.
4. б) Ровно две решки дают исходы ОРР, РОР, РРО — их три. Вероятность: 3 : 8 = 0,375.
5. Заметь, что «ровно два раза» и «не менее двух раз» — разные события: во втором случае добавился бы ещё исход РРР, и вероятность стала бы 4 : 8 = 0,5.
6. Проверка полноты: сложим вероятности всех четырёх случаев — ни одной решки, одна, две, три: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1. Если сумма не равна единице, часть исходов потеряна.
7. И вывод из сравнения двух способов. Перебор надёжен всегда, но при четырёх и более бросках исходов становится 16, 32, 64, и выписывать их уже долго. Противоположное событие короче, но годится только там, где «не то» описывается одним исходом или очень небольшим их числом. Для «хотя бы один орёл» противоположное — это ровно один исход РРР, поэтому там второй способ выигрывает; для «ровно две решки» противоположного короткого описания нет, и выручает перебор.

Ответ: Ответ: а) 0,125; б) 0,375

Уроки по этой линии

Задание 10: вероятность

Потренируй задание 10

Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.

Начать бесплатно

Аналитика ОГЭ: №10 — найдите вероятность события

Баллы

1 первичный балл

Частота

в каждом варианте

Сложность

базовый

Частые ловушки

Считают число исходов для двух кубиков как 12 вместо 36

При броске монеты дважды забывают, что ОР и РО — это разные исходы

В ответ пишут дробь вида 9/36, хотя нужна десятичная запись

Вероятность получается больше единицы — верный признак ошибки в подсчёте

Для события «хотя бы один» перебирают все случаи вместо перехода к противоположному

Совет. Записывай вероятность десятичной дробью: 9/36 = 0,25. И проверяй, что результат лежит между 0 и 1

Разборы

Разбор примера

Два броска кубика: считаем суммы

Показать решение по шагам

1. Общее число исходов: каждый бросок даёт 6 вариантов, броска два, значит n = 6 · 6 = 36.
2. Сумма 3 получается парами (1; 2) и (2; 1) — это 2 исхода.
3. Сумма 4: (1; 3), (2; 2), (3; 1) — 3 исхода.
4. Сумма 5: (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1) — 4 исхода.
5. Всего благоприятных: m = 2 + 3 + 4 = 9.
6. Вероятность: P = 9/36 = 1/4 = 0,25.

Ответ: Ответ: 0,25

Разбор примера

«Хотя бы один» — через противоположное событие

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Показать решение по шагам

1. Всего исходов: 2 · 2 · 2 = 8 (ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР).
2. Прямой перебор благоприятных исходов даёт 7 вариантов — можно, но легко сбиться.
3. Быстрее так: событие «хотя бы один орёл» противоположно событию «ни одного орла», то есть «все три раза решка».
4. «Все решки» — это ровно один исход РРР, его вероятность 1/8 = 0,125.
5. Значит P(хотя бы один орёл) = 1 − 0,125 = 0,875.
6. Проверка: 7/8 = 0,875 — совпало с прямым перебором.

Ответ: Ответ: 0,875

Разбор примера

Классическое определение на трёх бытовых сюжетах

Показать решение по шагам

1. а) Всего шаров 3 + 7 = 10 — это число всех исходов. Подходящих (белых) 3. Вероятность: 3 : 10 = 0,3. Главная ловушка сюжета — взять знаменателем 7 (число чёрных) вместо 10.
2. б) Всего билетов 50, выигрышных 8. Вероятность: 8 : 50 = 0,16.
3. в) Всего учеников 25, девочек 10. Вероятность: 10 : 25 = 0,4. Число мальчиков (15) в задаче не нужно вовсе.
4. Во всех трёх случаях формула одна: P = m/n, где n — общее число равновозможных исходов, m — число подходящих. Меняются только декорации.
5. Контроль правдоподобия: вероятность всегда лежит между 0 и 1. Если получилось 3,33 или 1,6 — значит числитель и знаменатель переставлены местами.

Ответ: Ответ: а) 0,3; б) 0,16; в) 0,4

Разбор примера

Противоположное событие: когда считать «не то» быстрее

Показать решение по шагам

1. Можно считать в лоб: годных деталей 40 − 6 = 34, вероятность 34 : 40 = 0,85.
2. Можно считать через противоположное событие. «Деталь годная» и «деталь бракованная» — события противоположные: одно из них обязательно происходит, и вместе они дают всю вероятность 1.
3. Вероятность брака: 6 : 40 = 0,15.
4. Значит, вероятность годной детали: 1 − 0,15 = 0,85.
5. Оба пути дали одно и то же, и это лучшая проверка. Приём «посчитать противоположное» окупается, когда подходящих исходов много, а неподходящих мало, — например, в вопросе «хотя бы один».
6. Форма ответа: 0,85, а не 34/40 и не 85 %.

Ответ: Ответ: 0,85

Разбор примера

Монету бросают три раза: дерево исходов

Показать решение по шагам

1. Опыт здесь тот же, что в разборе про «хотя бы один орёл», и взят он нарочно: сейчас мы решим вторым способом — не через противоположное событие, а полным перебором исходов. Сравнив два решения одного опыта, видно, когда какой способ короче: перебор нужен, если спрашивают «ровно столько-то раз», а противоположное событие — если спрашивают «хотя бы один раз».
2. Каждый бросок даёт 2 исхода, бросков три, поэтому всего исходов 2 · 2 · 2 = 8. Выпишем их: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР (О — орёл, Р — решка).
3. а) Подходит ровно один исход — РРР. Вероятность: 1 : 8 = 0,125.
4. б) Ровно две решки дают исходы ОРР, РОР, РРО — их три. Вероятность: 3 : 8 = 0,375.
5. Заметь, что «ровно два раза» и «не менее двух раз» — разные события: во втором случае добавился бы ещё исход РРР, и вероятность стала бы 4 : 8 = 0,5.
6. Проверка полноты: сложим вероятности всех четырёх случаев — ни одной решки, одна, две, три: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1. Если сумма не равна единице, часть исходов потеряна.
7. И вывод из сравнения двух способов. Перебор надёжен всегда, но при четырёх и более бросках исходов становится 16, 32, 64, и выписывать их уже долго. Противоположное событие короче, но годится только там, где «не то» описывается одним исходом или очень небольшим их числом. Для «хотя бы один орёл» противоположное — это ровно один исход РРР, поэтому там второй способ выигрывает; для «ровно две решки» противоположного короткого описания нет, и выручает перебор.

Ответ: Ответ: а) 0,125; б) 0,375