ОГЭ · Информатика · Логика и системы счисления (задания 3, 10)

Задание 10: системы счисления

Задания 10Урок 1 из 2 модуляОткрыт бесплатно

В задании 10 надо сложить три числа, записанные в разных системах счисления, и дать ответ в десятичной. Складывать «как есть» нельзя: сначала каждое слагаемое переводят в десятичную по степеням основания.

ОГЭАналитика ОГЭ

Задания

№10 (системы счисления)

Баллы

1 первичный балл

Частота

в каждом варианте

Частые ловушки

⚠В шестнадцатеричной забывают, что A=10, B=11, … F=15
⚠Ошибаются в степенях основания при развёрнутой записи
⚠Складывают числа в разных системах, не переведя их сначала в десятичную

СоветПереведи каждое слагаемое в десятичную (метод разложения по степеням), потом складывай

Позиционные системы счисления

Определение

Основание системы — количество цифр, используемых для записи чисел. Двоичная — основание 2 (0,1), восьмеричная — 8, шестнадцатеричная — 16 (0–9, A–F)

Цифры шестнадцатеричной системы

A	10
B	11
C	12
D	13
E	14
F	15

Степени двойки — их надо знать наизусть

2⁰, 2¹, 2², 2³	1, 2, 4, 8
2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷	16, 32, 64, 128
2⁸, 2⁹, 2¹⁰	256, 512, 1024
Степени восьмёрки	8⁰ = 1, 8¹ = 8, 8² = 64, 8³ = 512
Степени шестнадцати	16⁰ = 1, 16¹ = 16, 16² = 256

Определение

Перевод в десятичную — каждую цифру умножаем на основание в степени её позиции (справа налево, начиная с 0) и складываем. Пример: 101₂ = 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 5

Перевод в десятичную: как не сбиться в разрядах

Правило одно: каждую цифру умножаем на основание в степени её позиции и всё складываем. Позиции нумеруются справа налево, начиная с нуля. Это главный источник ошибок: крайняя правая цифра стоит в позиции 0, то есть умножается на основание в нулевой степени, а это 1, а не на само основание. Удобно подписывать степени прямо над цифрами до начала счёта. Для двоичного числа работает ещё более быстрый способ: просто сложи степени двойки там, где стоят единицы. В числе 101101₂ единицы стоят в позициях 0, 2, 3 и 5, значит 1 + 4 + 8 + 32 = 45, и никаких умножений вообще не потребовалось. Для шестнадцатеричных чисел помни про буквы: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Запись 3A₁₆ означает 3·16 + 10 = 58, а вовсе не «тридцать с чем-то». Проверить себя можно грубой оценкой: двоичное число из шести цифр не может быть больше 63, восьмеричное трёхзначное — больше 511, а шестнадцатеричное двузначное — больше 255.

Быстрый перевод между 2, 8 и 16 (пригодится в 13–15 заданиях)

Двоичное → восьмеричное	разбей двоичную запись справа на тройки и замени каждую тройку цифрой: 101 101 → 5 5, значит 101101₂ = 55₈
Двоичное → шестнадцатеричное	разбей справа на четвёрки: 10 1101 → 2 D, значит 101101₂ = 2D₁₆
Восьмеричное → двоичное	каждую цифру замени тройкой двоичных: 237₈ → 010 011 111
Шестнадцатеричное → двоичное	каждую цифру замени четвёркой: 3A₁₆ → 0011 1010
Зачем это нужно	перевод через двоичную короче, чем через десятичную, и в нём меньше арифметики — значит меньше шансов ошибиться

Порядок решения задания 10

• Определи основание каждого слагаемого (нижний индекс).

• Переведи каждое число в десятичную по степеням основания.

• Сложи полученные десятичные значения.

• Запиши сумму без указания основания

Ключевые понятия урока

Понятия урока и их короткие определения на одной схеме.

Разбор примера

Разбор задания 10 полностью, с арифметикой

Вычислите значение выражения 110101₂ + 172₈ + 2D₁₆. В ответе запишите десятичное число.

Показать решение по шагам

1. Первое слагаемое, двоичное 110101₂. Подписываем позиции справа налево: 5 4 3 2 1 0. Единицы стоят в позициях 0, 2, 4 и 5.
2. Складываем соответствующие степени двойки: 2⁰ + 2² + 2⁴ + 2⁵ = 1 + 4 + 16 + 32 = 53.
3. Второе слагаемое, восьмеричное 172₈. Позиции справа налево: 2, 1, 0. Считаем: 1·8² + 7·8¹ + 2·8⁰ = 1·64 + 7·8 + 2·1 = 64 + 56 + 2 = 122.
4. Третье слагаемое, шестнадцатеричное 2D₁₆. Буква D означает 13. Считаем: 2·16¹ + 13·16⁰ = 32 + 13 = 45.
5. Складываем все три десятичных значения: 53 + 122 = 175, затем 175 + 45 = 220.
6. Проверка порядка величин: шестизначное двоичное меньше 64, трёхзначное восьмеричное меньше 512, двузначное шестнадцатеричное меньше 256. Сумма 220 в эти рамки укладывается.
7. В бланк записываем только число без указания основания: 220.

Ответ: Ответ: 220

Разбор примера

Разбор с более длинным двоичным числом

Вычислите значение выражения 1011011₂ + 143₈ + 4B₁₆. В ответе запишите десятичное число.

Показать решение по шагам

1. Двоичное 1011011₂: семь цифр, позиции от 6 до 0. Единицы стоят в позициях 0, 1, 3, 4 и 6.
2. Сумма степеней: 1 + 2 + 8 + 16 + 64 = 91.
3. Восьмеричное 143₈: 1·64 + 4·8 + 3·1 = 64 + 32 + 3 = 99.
4. Шестнадцатеричное 4B₁₆: B = 11, значит 4·16 + 11 = 64 + 11 = 75.
5. Складываем: 91 + 99 = 190, затем 190 + 75 = 265.
6. Типичная ошибка здесь — принять B за 12 (сбились на одну букву). Проговаривай подряд: A десять, B одиннадцать, C двенадцать, D тринадцать, E четырнадцать, F пятнадцать.

Ответ: Ответ: 265

Вопрос на проверку

Чему равно число 1101₂ в десятичной системе?

Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.

Вопрос на проверку

Чему равно число F₁₆ в десятичной системе?

Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.

Частая ошибка

Три ошибки, которые встречаются в этой линии чаще всего. Первая: сложить числа, не переведя их — «101101 + 237 + 3A» посчитать нельзя, это записи в разных системах. Вторая: начать нумерацию разрядов с единицы; правая цифра — это всегда позиция 0. Третья: приписать к ответу основание или единицы измерения. В бланк идёт только десятичное число: 262, а не «262₁₀».

Частая ошибка

Ловушка: разряды нумеруют справа налево с нуля. Крайняя правая цифра — это основание в степени 0 (равно 1), а не в первой степени.

Разбор примера

Задание 10: сложение чисел из трёх систем

Вычислите значение выражения 1101₂ + 51₈ + 1F₁₆. Ответ запишите в десятичной системе.

Показать решение по шагам

1. 1101₂ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
2. 51₈ = 5·8 + 1 = 41.
3. 1F₁₆ = 1·16 + 15 = 31 (F означает 15).
4. Сумма: 13 + 41 + 31 = 85.
5. Проверка: перевести 85 обратно — 85 = 64 + 16 + 4 + 1 = 1010101₂; по триадам справа 1 010 101 → 125₈; 85 = 5·16 + 5 = 55₁₆. Обратный перевод — самый надёжный способ поймать арифметическую ошибку.

Ответ: 85

Разбор примера

Задание 10: сравнение и выбор наибольшего

Какое из чисел наибольшее: 1111₂, 20₈, 11₁₆, 17₁₀?

Показать решение по шагам

1. Переводим всё в десятичную систему: 1111₂ = 8 + 4 + 2 + 1 = 15.
2. 20₈ = 2·8 + 0 = 16.
3. 11₁₆ = 1·16 + 1 = 17.
4. 17₁₀ = 17.
5. Наибольшие — 11₁₆ и 17₁₀, они равны между собой (оба 17). Задание с таким исходом встречается: две записи одного и того же числа в разных системах.
6. Ловушка: решать «по виду». Запись 1111 выглядит самой длинной, но её значение самое маленькое — чем меньше основание, тем больше разрядов нужно на то же число.

Ответ: 11₁₆ = 17₁₀ = 17 — наибольшее значение

Разбор примера

Задание 10: перевод длинного двоичного числа

Переведите число 11011010₂ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы, не переходя к десятичной.

Показать решение по шагам

1. В восьмеричную — по триадам (8 = 2³): делим справа по три бита: 11 011 010. Левую группу дополняем нулями до трёх: 011 011 010.
2. Считаем каждую триаду: 011 = 3, 011 = 3, 010 = 2 → 332₈.
3. В шестнадцатеричную — по тетрадам (16 = 2⁴): делим справа по четыре бита: 1101 1010.
4. Считаем: 1101 = 13 = D, 1010 = 10 = A → DA₁₆.
5. Проверка через десятичную: 11011010₂ = 128 + 64 + 16 + 8 + 2 = 218. Проверяем: 332₈ = 3·64 + 3·8 + 2 = 218 ✔; DA₁₆ = 13·16 + 10 = 218 ✔. Оба перевода верны, и заняли они несколько секунд вместо минуты.

Ответ: 332₈ и DA₁₆

Разбор примера

Файл-ответ sist.ods (формат задания 14): таблица перевода с проверкой

Соберите таблицу, которая переводит число между системами счисления и сама проверяет результат обратным переводом. Файл сохраняется как *.ods.

Показать решение по шагам

1. Разметка: A1 «Двоичное (текстом)», B1; A2 «Восьмеричное», B2 = =ДВ.В.ВОСЬМ(B1); A3 «Шестнадцатеричное», B3 = =ДВ.В.ШЕСТН(B1); A4 «Десятичное», B4 = =ДВ.В.ДЕС(B1).
2. Автопроверка: A6 «Сходится?», B6 = =ЕСЛИ(И(ВОСЬМ.В.ДЕС(B2)=B4;ШЕСТН.В.ДЕС(B3)=B4);"да";"нет"). Формула переводит результаты обратно и сравнивает с десятичным значением: если хоть один перевод разошёлся, в ячейке появится «нет».
3. Проверка на разобранном условии: B1 = 11011010 → B2 показывает 332, B3 — DA, B4 — 218, B6 — да.
4. Чему учит этот файл: приёмам задания 14 — вложенным функциям, логической функции ЕСЛИ и ссылкам между ячейками. Всё это входит в 3 балла линии 14, самого дорогого задания работы.
5. Как сохранять: «Файл → Сохранить как → Электронная таблица ODF (.ods)». Двоичное число вводят как текст, иначе ведущие нули пропадут и перевод собьётся.

Ответ: sist.ods: ДВ.В.ВОСЬМ, ДВ.В.ШЕСТН, ДВ.В.ДЕС и автопроверка обратным переводом

ℹ️ Спецификация КИМ ОГЭ-2026 по информатике: «Решением каждого задания части 2 является отдельный файл, подготовленный в соответствующей программе (текстовом редакторе или электронной таблице)». Линии 13–16 — 9 баллов из 21, и проверяет их эксперт.