ЕГЭ 2027 · Математика (профиль)
Задание 2 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ЕГЭ: №2 (векторы и координаты)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
Частые ловушки
- Путают скалярное произведение и координаты вектора
- Ошибаются в знаке при вычитании векторов
- Забывают формулу длины и косинуса угла
- ФИПИ-2025: ошибки в векторах идут от непонимания самого объекта — не умеют работать с координатами и не знают формулы скалярного произведения (x₁x₂ + y₁y₂)
Совет. Скалярное произведение = x₁x₂+y₁y₂; знак показывает острый/тупой угол между векторами
Разборы
Разбор примера
Длина линейной комбинации
Даны векторы a(−3; 2) и b(−1; −9). Найдите длину вектора 3a − 2b.
Показать решение по шагам
- 1. 3a = (−9; 6), 2b = (−2; −18).
- 2. 3a − 2b = (−9 − (−2); 6 − (−18)) = (−7; 24).
- 3. Длина = √((−7)² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25.
Ответ: 25
Разбор примера
Скалярное произведение в квадрате — двумя способами
Дан квадрат ABCD со стороной 4. Найдите скалярное произведение векторов AB и AC.
Показать решение по шагам
- 1. Способ 1 (координатный, рекомендуемый). Ставим A(0; 0), B(4; 0), C(4; 4), D(0; 4).
- 2. Вектор AB = (4 − 0; 0 − 0) = (4; 0). Вектор AC = (4 − 0; 4 − 0) = (4; 4).
- 3. Скалярное произведение: 4·4 + 0·4 = 16 + 0 = 16.
- 4. Способ 2 (через определение). |AB| = 4; |AC| = 4√2 — это диагональ квадрата; угол между AB и AC равен половине прямого угла, то есть 45°.
- 5. a·b = |AB| · |AC| · cos 45° = 4 · 4√2 · (√2/2) = 16 · (2/2) = 16. Ответы совпали.
- 6. Проверка знака: угол острый (45°), значит произведение обязано быть положительным — так и вышло.
Ответ: Ответ: 16
Разбор примера
От точек к длине и середине
Даны точки A(−2; 1) и B(4; 9). Найдите длину вектора AB и координаты середины отрезка AB.
Показать решение по шагам
- 1. Координаты вектора: конец минус начало. AB = (4 − (−2); 9 − 1) = (6; 8).
- 2. Длина: |AB| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
- 3. Середина: полусумма координат концов. x = (−2 + 4)/2 = 1; y = (1 + 9)/2 = 5. Середина M(1; 5).
- 4. Проверка: вектор AM = (1 − (−2); 5 − 1) = (3; 4), его длина √(9 + 16) = 5 — ровно половина от 10. Сошлось.
Ответ: Ответ: |AB| = 10, середина M(1; 5)
Разбор примера
Условие перпендикулярности с неизвестной координатой
При каком значении k векторы a(4; −3) и b(k; 8) перпендикулярны?
Показать решение по шагам
- 1. Перпендикулярность равносильна равенству нулю скалярного произведения: a·b = 0.
- 2. a·b = 4·k + (−3)·8 = 4k − 24.
- 3. 4k − 24 = 0, откуда k = 6.
- 4. Проверка: a(4; −3), b(6; 8); произведение 4·6 + (−3)·8 = 24 − 24 = 0 — верно.
- 5. Дополнительно: |a| = 5, |b| = 10, косинус угла равен 0 : (5·10) = 0, то есть угол ровно 90°.
Ответ: Ответ: k = 6
Уроки по этой линии
- Векторы и координаты
Потренируй задание 2
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.