ЕГЭ 2027 · Математика (профиль)

Задание 17 ЕГЭ по профильной математике

Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.

Аналитика ЕГЭ: №17 — прикладная задача: составить модель по условию, исследовать её и истолковать результат

Баллы: 2 первичных балла, часть 2, развёрнутый ответ с обоснованием
Частота: в каждом варианте с 2027 года

Частые ловушки

Записывают только ответ: за развёрнутое задание нужен ход решения, иначе балл снимают
Не указывают область допустимых значений: сопротивление, скорость, объём выпуска положительны, и это часть модели
Находят точку экстремума и забывают подставить её обратно: в ответе часто просят не аргумент, а значение функции
Не обосновывают, что найденная точка — именно максимум: нужен знак производной слева и справа или ссылка на вид функции
Теряют размерность: ватты, метры, литры и тысячи рублей надо назвать в ответе
В задаче про прибыль умножают цену на объём и забывают вычесть себестоимость

Совет. Схема одна на все сюжеты: обозначь переменную → выпиши функцию по условию → укажи область значений → приравняй производную к нулю → проверь, что это максимум → подставь обратно и назови единицы.

Разборы

Разбор примера

Наибольшая мощность на нагрузке

Генератор с ЭДС 20 В и внутренним сопротивлением 5 Ом замкнут на нагрузку сопротивлением R. Сила тока I = ε/(r + R), мощность на нагрузке P = I²R. Какова наибольшая мощность, которую можно выделить на нагрузке?

Показать решение по шагам

1. Переменная: сопротивление нагрузки R, причём R > 0 — это область допустимых значений.
2. Модель: подставляем ток в формулу мощности. P(R) = ε²R/(r + R)² = 400R/(5 + R)².
3. Производная: P′(R) = 400 · [(5 + R)² − R · 2(5 + R)]/(5 + R)⁴ = 400(5 − R)/(5 + R)³.
4. Точка: производная равна нулю при R = 5. Слева от пятёрки числитель положителен, справа отрицателен, знаменатель положителен всегда — значит это максимум.
5. Подстановка: P(5) = 400 · 5/(5 + 5)² = 2000/100 = 20 Вт.
6. Заодно получен общий факт, который стоит запомнить: наибольшая мощность выделяется при R = r и равна ε²/(4r). Здесь 400/20 = 20 Вт — сходится. Но на экзамене одну эту формулу писать нельзя: нужен ход решения.

Ответ: 20 Вт

Разбор примера

Максимальная прибыль завода

Завод продаёт продукцию по цене, зависящей от объёма выпуска: если за месяц выпущено q тонн, цена одной тонны равна (300 − 4q) тысяч рублей. Себестоимость одной тонны постоянна и равна 50 тысячам рублей. Какую наибольшую прибыль (в тысячах рублей) может получить завод за месяц? Считайте, что вся выпущенная продукция продаётся.

Показать решение по шагам

1. Переменная: объём выпуска q тонн. Область допустимых значений: q > 0, и вдобавок цена должна быть положительной, то есть 300 − 4q > 0, откуда q < 75.
2. Модель. Выручка — это цена, умноженная на количество: q·(300 − 4q). Затраты — себестоимость, умноженная на количество: 50q. Прибыль — их разность.
3. П(q) = q·(300 − 4q) − 50q = 300q − 4q² − 50q = 250q − 4q².
4. Производная: П′(q) = 250 − 8q.
5. Точка: П′(q) = 0 при q = 250/8 = 31,25. Слева производная положительна, справа отрицательна — значит это максимум. Найденное значение лежит внутри промежутка (0; 75), то есть допустимо.
6. Подстановка: П(31,25) = 250·31,25 − 4·31,25² = 7812,5 − 4·976,5625 = 7812,5 − 3906,25 = 3906,25 тысячи рублей.
7. Тот же ответ без производной: П(q) = −4q² + 250q — парабола ветвями вниз, вершина при q = −b/(2a) = 250/8 = 31,25. Для квадратичной модели это законный и более быстрый путь, но в задании 17 ход решения всё равно нужно расписать.
8. Где теряют баллы. Забывают вычесть себестоимость и максимизируют выручку q·(300 − 4q): её максимум при q = 37,5 и он равен 5625 — ответ неверен. Прибыль и выручка — разные величины; читайте в условии, что именно просят. Вторая потеря — округляют q до 31 «потому что тонны целые»: в условии такого требования нет, и округление меняет ответ.

Ответ: 3906,25 тысячи рублей

Разбор примера

Консервная банка наименьшей площади

Консервная банка имеет форму цилиндра, её объём равен 54π куб. см. При каком радиусе основания площадь полной поверхности банки будет наименьшей? Ответ дайте в сантиметрах.

Показать решение по шагам

1. Переменная: радиус основания r, причём r > 0. Высота h переменной не является — она однозначно определяется объёмом.
2. Связь: V = πr²h = 54π, откуда h = 54/r². Это ключевой шаг: он позволяет выразить всё через одну букву.
3. Модель: полная поверхность цилиндра складывается из двух кругов и боковой поверхности: S = 2πr² + 2πr·h.
4. Подставляем высоту: S(r) = 2πr² + 2πr·(54/r²) = 2πr² + 108π/r.
5. Производная: S′(r) = 4πr − 108π/r².
6. Точка: приравниваем к нулю: 4πr = 108π/r², то есть 4r³ = 108 и r³ = 27, откуда r = 3.
7. Проверяем характер точки: при r < 3 второе слагаемое перевешивает и производная отрицательна, при r > 3 положительна — значит это минимум, что и требуется.
8. Заодно найдём высоту: h = 54/9 = 6 = 2r. Полезный факт: у цилиндра наименьшей поверхности при заданном объёме высота равна диаметру.
9. Где теряют баллы. Пытаются исследовать функцию двух переменных S(r; h), не подставив связь из условия. Производную берут по одной переменной, поэтому вторую обязательно нужно выразить через первую. Вторая потеря — считают только боковую поверхность, забыв два донышка: слово «полной» в условии стоит не просто так.

Ответ: 3 см

Разбор примера

Параллелепипед с квадратным основанием: наименьшая поверхность

Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием и объёмом 64 куб. см выберите тот, у которого площадь полной поверхности наименьшая. Чему равна эта площадь? Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Показать решение по шагам

1. Переменная: сторона квадратного основания a > 0. Высоту h выразим из объёма.
2. Связь: V = a²·h = 64, откуда h = 64/a².
3. Модель: полная поверхность — два квадрата основания и четыре боковые грани: S = 2a² + 4a·h.
4. Подставляем: S(a) = 2a² + 4a·(64/a²) = 2a² + 256/a.
5. Производная: S′(a) = 4a − 256/a².
6. Точка: 4a = 256/a², то есть 4a³ = 256 и a³ = 64, откуда a = 4. Слева от четвёрки производная отрицательна, справа положительна — минимум.
7. Высота: h = 64/16 = 4. Получился куб с ребром 4 — и это общий факт: среди прямоугольных параллелепипедов заданного объёма наименьшую поверхность имеет куб.
8. Подстановка: S = 2·16 + 256/4 = 32 + 64 = 96 кв. см.
9. Проверка соседними значениями: при a = 3 получаем S = 18 + 85,3 ≈ 103,3; при a = 5 получаем S = 50 + 51,2 = 101,2. Оба больше 96 — минимум найден верно.
10. Где теряют баллы. Отвечают «4», то есть сторону, хотя спрашивали площадь. В задании 17 вопрос и найденная точка экстремума часто не совпадают: производная даёт аргумент, а в ответ идёт значение функции. Последний шаг «подставить и посчитать» пропускать нельзя.

Ответ: 96 кв. см

Уроки по этой линии

Задание 17: прикладная задача на наибольшее и наименьшее значение

Потренируй задание 17

Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.

Начать бесплатно

Аналитика ЕГЭ: №17 — прикладная задача: составить модель по условию, исследовать её и истолковать результат

Баллы

2 первичных балла, часть 2, развёрнутый ответ с обоснованием

Частота

в каждом варианте с 2027 года

Частые ловушки

Записывают только ответ: за развёрнутое задание нужен ход решения, иначе балл снимают

Не указывают область допустимых значений: сопротивление, скорость, объём выпуска положительны, и это часть модели

Находят точку экстремума и забывают подставить её обратно: в ответе часто просят не аргумент, а значение функции

Не обосновывают, что найденная точка — именно максимум: нужен знак производной слева и справа или ссылка на вид функции

Теряют размерность: ватты, метры, литры и тысячи рублей надо назвать в ответе

В задаче про прибыль умножают цену на объём и забывают вычесть себестоимость

Разборы

Разбор примера

Наибольшая мощность на нагрузке

Показать решение по шагам

1. Переменная: сопротивление нагрузки R, причём R > 0 — это область допустимых значений.
2. Модель: подставляем ток в формулу мощности. P(R) = ε²R/(r + R)² = 400R/(5 + R)².
3. Производная: P′(R) = 400 · [(5 + R)² − R · 2(5 + R)]/(5 + R)⁴ = 400(5 − R)/(5 + R)³.
4. Точка: производная равна нулю при R = 5. Слева от пятёрки числитель положителен, справа отрицателен, знаменатель положителен всегда — значит это максимум.
5. Подстановка: P(5) = 400 · 5/(5 + 5)² = 2000/100 = 20 Вт.
6. Заодно получен общий факт, который стоит запомнить: наибольшая мощность выделяется при R = r и равна ε²/(4r). Здесь 400/20 = 20 Вт — сходится. Но на экзамене одну эту формулу писать нельзя: нужен ход решения.

Ответ: 20 Вт

Разбор примера

Максимальная прибыль завода

Показать решение по шагам

1. Переменная: объём выпуска q тонн. Область допустимых значений: q > 0, и вдобавок цена должна быть положительной, то есть 300 − 4q > 0, откуда q < 75.
2. Модель. Выручка — это цена, умноженная на количество: q·(300 − 4q). Затраты — себестоимость, умноженная на количество: 50q. Прибыль — их разность.
3. П(q) = q·(300 − 4q) − 50q = 300q − 4q² − 50q = 250q − 4q².
4. Производная: П′(q) = 250 − 8q.
5. Точка: П′(q) = 0 при q = 250/8 = 31,25. Слева производная положительна, справа отрицательна — значит это максимум. Найденное значение лежит внутри промежутка (0; 75), то есть допустимо.
6. Подстановка: П(31,25) = 250·31,25 − 4·31,25² = 7812,5 − 4·976,5625 = 7812,5 − 3906,25 = 3906,25 тысячи рублей.
7. Тот же ответ без производной: П(q) = −4q² + 250q — парабола ветвями вниз, вершина при q = −b/(2a) = 250/8 = 31,25. Для квадратичной модели это законный и более быстрый путь, но в задании 17 ход решения всё равно нужно расписать.
8. Где теряют баллы. Забывают вычесть себестоимость и максимизируют выручку q·(300 − 4q): её максимум при q = 37,5 и он равен 5625 — ответ неверен. Прибыль и выручка — разные величины; читайте в условии, что именно просят. Вторая потеря — округляют q до 31 «потому что тонны целые»: в условии такого требования нет, и округление меняет ответ.

Ответ: 3906,25 тысячи рублей

Разбор примера

Консервная банка наименьшей площади

Показать решение по шагам

1. Переменная: радиус основания r, причём r > 0. Высота h переменной не является — она однозначно определяется объёмом.
2. Связь: V = πr²h = 54π, откуда h = 54/r². Это ключевой шаг: он позволяет выразить всё через одну букву.
3. Модель: полная поверхность цилиндра складывается из двух кругов и боковой поверхности: S = 2πr² + 2πr·h.
4. Подставляем высоту: S(r) = 2πr² + 2πr·(54/r²) = 2πr² + 108π/r.
5. Производная: S′(r) = 4πr − 108π/r².
6. Точка: приравниваем к нулю: 4πr = 108π/r², то есть 4r³ = 108 и r³ = 27, откуда r = 3.
7. Проверяем характер точки: при r < 3 второе слагаемое перевешивает и производная отрицательна, при r > 3 положительна — значит это минимум, что и требуется.
8. Заодно найдём высоту: h = 54/9 = 6 = 2r. Полезный факт: у цилиндра наименьшей поверхности при заданном объёме высота равна диаметру.
9. Где теряют баллы. Пытаются исследовать функцию двух переменных S(r; h), не подставив связь из условия. Производную берут по одной переменной, поэтому вторую обязательно нужно выразить через первую. Вторая потеря — считают только боковую поверхность, забыв два донышка: слово «полной» в условии стоит не просто так.

Ответ: 3 см

Разбор примера

Параллелепипед с квадратным основанием: наименьшая поверхность

Показать решение по шагам

1. Переменная: сторона квадратного основания a > 0. Высоту h выразим из объёма.
2. Связь: V = a²·h = 64, откуда h = 64/a².
3. Модель: полная поверхность — два квадрата основания и четыре боковые грани: S = 2a² + 4a·h.
4. Подставляем: S(a) = 2a² + 4a·(64/a²) = 2a² + 256/a.
5. Производная: S′(a) = 4a − 256/a².
6. Точка: 4a = 256/a², то есть 4a³ = 256 и a³ = 64, откуда a = 4. Слева от четвёрки производная отрицательна, справа положительна — минимум.
7. Высота: h = 64/16 = 4. Получился куб с ребром 4 — и это общий факт: среди прямоугольных параллелепипедов заданного объёма наименьшую поверхность имеет куб.
8. Подстановка: S = 2·16 + 256/4 = 32 + 64 = 96 кв. см.
9. Проверка соседними значениями: при a = 3 получаем S = 18 + 85,3 ≈ 103,3; при a = 5 получаем S = 50 + 51,2 = 101,2. Оба больше 96 — минимум найден верно.
10. Где теряют баллы. Отвечают «4», то есть сторону, хотя спрашивали площадь. В задании 17 вопрос и найденная точка экстремума часто не совпадают: производная даёт аргумент, а в ответ идёт значение функции. Последний шаг «подставить и посчитать» пропускать нельзя.

Ответ: 96 кв. см