ЕГЭ 2027 · Математика (профиль)

Задание 13 ЕГЭ по профильной математике

Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.

Аналитика ЕГЭ: №13 (экономическая задача, часть 2)

Баллы: 2 балла (критерии)
Частота: в каждом варианте

Частые ловушки

Путают аннуитетную и дифференцированную схемы
Составляют неверное уравнение остатка долга
Забывают проценты последнего периода

Совет. Определи схему платежей и распиши остаток долга по шагам; неверная модель обнуляет баллы

Аналитика ЕГЭ: Элементы 3.7–3.8 (опора для №11 и №13)

Баллы: опорный навык (входит в текстовые и экономические задачи)
Частота: иногда

Частые ловушки

Забывают, что в aₙ стоит (n−1)d, а не nd
Путают формулы арифметической и геометрической прогрессий
В сумме геометрической берут qⁿ вместо qⁿ⁻¹ (это в n-м члене)
Применяют формулу бесконечной суммы при |q| ≥ 1

Совет. Арифметика — прибавляем d, геометрия — умножаем на q. В n-м члене показатель (n−1)

Аналитика ЕГЭ: №13 (экономическая задача: вклады и кредиты)

Баллы: 2 балла (критерии)
Частота: в каждом варианте

Частые ловушки

Путают схему дифференцированных и аннуитетных платежей
Теряют проценты за последний период
Составляют неверное уравнение баланса долга

Совет. Чётко определи схему платежей и выпиши остаток долга по шагам; ошибка в модели обнуляет баллы

Разборы

Разбор примера

Дифференцированная схема: считаем по таблице

Кредит 6 000 000 рублей взят на 3 года. В конце каждого года банк начисляет 20% на оставшийся долг, после чего заёмщик выплачивает начисленные проценты и 2 000 000 рублей основного долга. Какую сумму заёмщик выплатит за весь срок?

Показать решение по шагам

1. Тело долга гасится равными долями: 6 000 000 : 3 = 2 000 000 рублей в год.
2. Год 1. Долг на начало года 6 000 000. Проценты: 0,2 · 6 000 000 = 1 200 000. Платёж: 1 200 000 + 2 000 000 = 3 200 000. Остаток 4 000 000.
3. Год 2. Долг 4 000 000. Проценты: 0,2 · 4 000 000 = 800 000. Платёж: 800 000 + 2 000 000 = 2 800 000. Остаток 2 000 000.
4. Год 3. Долг 2 000 000. Проценты: 0,2 · 2 000 000 = 400 000. Платёж: 400 000 + 2 000 000 = 2 400 000. Остаток 0.
5. Сумма выплат: 3 200 000 + 2 800 000 + 2 400 000 = 8 400 000 рублей.
6. Быстрая проверка по формуле: сумма процентов = 0,2 · (6 + 4 + 2) млн = 0,2 · 12 млн = 2,4 млн. Плюс тело 6 млн — итого 8,4 млн. Сошлось.

Ответ: Ответ: 8 400 000 рублей

Разбор примера

Аннуитет: находим равный платёж

Кредит 1 100 000 рублей взят под 20% годовых и должен быть погашен двумя равными ежегодными платежами. Найдите размер платежа.

Показать решение по шагам

1. Обозначим платёж x рублей, коэффициент k = 1,2.
2. После первого начисления долг равен 1 100 000 · 1,2 = 1 320 000. После первого платежа остаётся 1 320 000 − x.
3. Через год этот остаток снова растёт на 20%: (1 320 000 − x)·1,2. Второй платёж гасит его полностью.
4. Уравнение: (1 320 000 − x)·1,2 = x.
5. Раскрываем: 1 584 000 − 1,2x = x, значит 1 584 000 = 2,2x.
6. x = 1 584 000 : 2,2 = 720 000 рублей.
7. Проверка по годам: 1 100 000 · 1,2 = 1 320 000; 1 320 000 − 720 000 = 600 000; 600 000 · 1,2 = 720 000; 720 000 − 720 000 = 0. Долг погашен ровно.
8. Переплата: 2 · 720 000 − 1 100 000 = 340 000 рублей.

Ответ: Ответ: 720 000 рублей

Разбор примера

Формула суммы процентов при равномерном погашении

Кредит 900 000 рублей взят на 3 года под 10% годовых. По условию долг перед каждым начислением уменьшается на одну и ту же величину. Найдите общую сумму выплат.

Показать решение по шагам

1. Долг уменьшается равными шагами по 900 000 : 3 = 300 000 рублей, поэтому перед начислениями он равен 900 000, 600 000 и 300 000.
2. Это арифметическая прогрессия. Её сумма: (900 000 + 300 000)/2 · 3 = 600 000 · 3 = 1 800 000.
3. Проценты начисляются на каждый из этих остатков по ставке 10%: 0,1 · 1 800 000 = 180 000 рублей.
4. Общая сумма выплат = тело кредита + проценты = 900 000 + 180 000 = 1 080 000 рублей.
5. Та же величина по формуле: сумма процентов = (r/100)·S·(n + 1)/2 = 0,1 · 900 000 · 4/2 = 180 000. Сошлось.
6. Формула экономит время: не нужно расписывать таблицу, если схема именно равномерная.

Ответ: Ответ: 1 080 000 рублей

Разбор примера

Обратная задача: по переплате найти срок кредита

Кредит 12 000 000 рублей взят под 15 процентов годовых. В конце каждого года на остаток долга начисляются проценты, после чего заёмщик выплачивает их и одну и ту же часть основного долга, так что за весь срок долг гасится равными долями. Переплата по кредиту составила 5 400 000 рублей. На сколько лет взят кредит?

Показать решение по шагам

1. Переплата — это сумма всех процентов, выплаченных за срок кредита; сам основной долг (12 млн) переплатой не считается.
2. Пусть срок равен n лет. Тогда каждый год гасится 12/n млн основного долга, и остаток перед k-м платежом равен 12 · (n − k + 1)/n млн.
3. Проценты k-го года: 0,15 · 12 · (n − k + 1)/n.
4. Суммируем по всем годам. Множители (n − k + 1) при k от 1 до n пробегают значения n, n − 1, …, 1, и их сумма равна n(n + 1)/2.
5. Общая переплата: 0,15 · 12 · [n(n + 1)/2] / n = 0,15 · 12 · (n + 1)/2 = 0,9·(n + 1) млн рублей.
6. Приравниваем к условию: 0,9·(n + 1) = 5,4, откуда n + 1 = 6 и n = 5.
7. Проверка прямым счётом для n = 5: доля долга 2,4 млн в год, остатки 12; 9,6; 7,2; 4,8; 2,4, проценты 1,8; 1,44; 1,08; 0,72; 0,36. Сумма: 1,8 + 1,44 + 1,08 + 0,72 + 0,36 = 5,4 млн. Сошлось.
8. Где теряют баллы. Включают в переплату весь основной долг и решают уравнение для 17,4 млн. Переплата — только проценты. Вторая потеря — считают проценты как 15% от полной суммы за каждый год (0,15·12·n = 1,8n) и получают n = 3: проценты начисляются на убывающий остаток, а не на исходные 12 млн.

Ответ: 5 лет

Разбор примера

Пример: дифференцированная схема, разница платежей

Кредит 1400 тыс. руб. на 8 лет. Первые 4 года ставка 17%, вторые 4 года — 14%. Тело долга уменьшается равномерно. На сколько последняя выплата меньше выплаты третьего года?

Показать решение по шагам

1. Тело долга гасится равными частями: 1400/8 = 175 тыс. руб. в год.
2. Остаток на начало 3-го года = 1400 − 2·175 = 1050 тыс. руб. Проценты 3-го года = 1050·0,17 = 178,5. Платёж 3-го года = 175 + 178,5 = 353,5 тыс. руб.
3. Последний (8-й) год: остаток на начало = 175 тыс. руб. (осталась одна доля). Ставка вторых 4 лет 14%. Проценты = 175·0,14 = 24,5. Платёж = 175 + 24,5 = 199,5 тыс. руб.
4. Разница: 353,5 − 199,5 = 154 тыс. руб. = 154 000 рублей.

Ответ: 154 000 рублей

Уроки по этой линии

Экономические задачи: кредиты и вклады
Последовательности и прогрессии: арифметическая и геометрическая
Экономические задачи №13: вклады, кредиты, две схемы — открыт бесплатно
Экономические задачи №13: сюжеты и оптимизация

Потренируй задание 13

Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.

Начать бесплатно

Аналитика ЕГЭ: №13 (экономическая задача, часть 2)

Баллы

2 балла (критерии)

Частота

в каждом варианте

Частые ловушки

Путают аннуитетную и дифференцированную схемы

Составляют неверное уравнение остатка долга

Забывают проценты последнего периода

Совет. Определи схему платежей и распиши остаток долга по шагам; неверная модель обнуляет баллы

Аналитика ЕГЭ: Элементы 3.7–3.8 (опора для №11 и №13)

Баллы

опорный навык (входит в текстовые и экономические задачи)

Частота

иногда

Частые ловушки

Забывают, что в aₙ стоит (n−1)d, а не nd

Путают формулы арифметической и геометрической прогрессий

В сумме геометрической берут qⁿ вместо qⁿ⁻¹ (это в n-м члене)

Применяют формулу бесконечной суммы при |q| ≥ 1

Совет. Арифметика — прибавляем d, геометрия — умножаем на q. В n-м члене показатель (n−1)

Аналитика ЕГЭ: №13 (экономическая задача: вклады и кредиты)

Баллы

2 балла (критерии)

Частота

в каждом варианте

Частые ловушки

Путают схему дифференцированных и аннуитетных платежей

Теряют проценты за последний период

Составляют неверное уравнение баланса долга

Совет. Чётко определи схему платежей и выпиши остаток долга по шагам; ошибка в модели обнуляет баллы

Разборы

Разбор примера

Дифференцированная схема: считаем по таблице

Показать решение по шагам

1. Тело долга гасится равными долями: 6 000 000 : 3 = 2 000 000 рублей в год.
2. Год 1. Долг на начало года 6 000 000. Проценты: 0,2 · 6 000 000 = 1 200 000. Платёж: 1 200 000 + 2 000 000 = 3 200 000. Остаток 4 000 000.
3. Год 2. Долг 4 000 000. Проценты: 0,2 · 4 000 000 = 800 000. Платёж: 800 000 + 2 000 000 = 2 800 000. Остаток 2 000 000.
4. Год 3. Долг 2 000 000. Проценты: 0,2 · 2 000 000 = 400 000. Платёж: 400 000 + 2 000 000 = 2 400 000. Остаток 0.
5. Сумма выплат: 3 200 000 + 2 800 000 + 2 400 000 = 8 400 000 рублей.
6. Быстрая проверка по формуле: сумма процентов = 0,2 · (6 + 4 + 2) млн = 0,2 · 12 млн = 2,4 млн. Плюс тело 6 млн — итого 8,4 млн. Сошлось.

Ответ: Ответ: 8 400 000 рублей

Разбор примера

Аннуитет: находим равный платёж

Показать решение по шагам

1. Обозначим платёж x рублей, коэффициент k = 1,2.
2. После первого начисления долг равен 1 100 000 · 1,2 = 1 320 000. После первого платежа остаётся 1 320 000 − x.
3. Через год этот остаток снова растёт на 20%: (1 320 000 − x)·1,2. Второй платёж гасит его полностью.
4. Уравнение: (1 320 000 − x)·1,2 = x.
5. Раскрываем: 1 584 000 − 1,2x = x, значит 1 584 000 = 2,2x.
6. x = 1 584 000 : 2,2 = 720 000 рублей.
7. Проверка по годам: 1 100 000 · 1,2 = 1 320 000; 1 320 000 − 720 000 = 600 000; 600 000 · 1,2 = 720 000; 720 000 − 720 000 = 0. Долг погашен ровно.
8. Переплата: 2 · 720 000 − 1 100 000 = 340 000 рублей.

Ответ: Ответ: 720 000 рублей

Разбор примера

Формула суммы процентов при равномерном погашении

Показать решение по шагам

1. Долг уменьшается равными шагами по 900 000 : 3 = 300 000 рублей, поэтому перед начислениями он равен 900 000, 600 000 и 300 000.
2. Это арифметическая прогрессия. Её сумма: (900 000 + 300 000)/2 · 3 = 600 000 · 3 = 1 800 000.
3. Проценты начисляются на каждый из этих остатков по ставке 10%: 0,1 · 1 800 000 = 180 000 рублей.
4. Общая сумма выплат = тело кредита + проценты = 900 000 + 180 000 = 1 080 000 рублей.
5. Та же величина по формуле: сумма процентов = (r/100)·S·(n + 1)/2 = 0,1 · 900 000 · 4/2 = 180 000. Сошлось.
6. Формула экономит время: не нужно расписывать таблицу, если схема именно равномерная.

Ответ: Ответ: 1 080 000 рублей

Разбор примера

Обратная задача: по переплате найти срок кредита

Показать решение по шагам

1. Переплата — это сумма всех процентов, выплаченных за срок кредита; сам основной долг (12 млн) переплатой не считается.
2. Пусть срок равен n лет. Тогда каждый год гасится 12/n млн основного долга, и остаток перед k-м платежом равен 12 · (n − k + 1)/n млн.
3. Проценты k-го года: 0,15 · 12 · (n − k + 1)/n.
4. Суммируем по всем годам. Множители (n − k + 1) при k от 1 до n пробегают значения n, n − 1, …, 1, и их сумма равна n(n + 1)/2.
5. Общая переплата: 0,15 · 12 · [n(n + 1)/2] / n = 0,15 · 12 · (n + 1)/2 = 0,9·(n + 1) млн рублей.
6. Приравниваем к условию: 0,9·(n + 1) = 5,4, откуда n + 1 = 6 и n = 5.
7. Проверка прямым счётом для n = 5: доля долга 2,4 млн в год, остатки 12; 9,6; 7,2; 4,8; 2,4, проценты 1,8; 1,44; 1,08; 0,72; 0,36. Сумма: 1,8 + 1,44 + 1,08 + 0,72 + 0,36 = 5,4 млн. Сошлось.
8. Где теряют баллы. Включают в переплату весь основной долг и решают уравнение для 17,4 млн. Переплата — только проценты. Вторая потеря — считают проценты как 15% от полной суммы за каждый год (0,15·12·n = 1,8n) и получают n = 3: проценты начисляются на убывающий остаток, а не на исходные 12 млн.

Ответ: 5 лет

Разбор примера

Пример: дифференцированная схема, разница платежей

Показать решение по шагам

1. Тело долга гасится равными частями: 1400/8 = 175 тыс. руб. в год.
2. Остаток на начало 3-го года = 1400 − 2·175 = 1050 тыс. руб. Проценты 3-го года = 1050·0,17 = 178,5. Платёж 3-го года = 175 + 178,5 = 353,5 тыс. руб.
3. Последний (8-й) год: остаток на начало = 175 тыс. руб. (осталась одна доля). Ставка вторых 4 лет 14%. Проценты = 175·0,14 = 24,5. Платёж = 175 + 24,5 = 199,5 тыс. руб.
4. Разница: 353,5 − 199,5 = 154 тыс. руб. = 154 000 рублей.

Ответ: 154 000 рублей

Уроки по этой линии

Экономические задачи: кредиты и вклады

Последовательности и прогрессии: арифметическая и геометрическая

Экономические задачи №13: вклады, кредиты, две схемы — открыт бесплатно

Экономические задачи №13: сюжеты и оптимизация