ЕГЭ · Математика (профиль) · Текстовые и прикладные задачи

Задачи на движение

Задания 11Урок 1 из 7 модуляОткрыт бесплатно

Классика задания 11: движение по реке, вдогонку, навстречу. Всё держится на формуле путь = скорость · время.

🎯 ЕГЭ профиль: этот урок закрывает задание(я) 11.

ЕГЭАналитика ЕГЭ

Задания

№11 (текстовая задача на движение)

Баллы

1 первичный балл

Частота

в каждом варианте

Частые ловушки

⚠Путают скорость сближения / удаления
⚠Теряют перевод единиц (км/ч ↔ м/с)
⚠Берут посторонний корень (отрицательная скорость/время)
⚠ФИПИ-2025: около 3 % записывают в ответ скорость по течению или против течения вместо искомой, а в части вариантов — скорость только на участке из А в В. Перечитайте вопрос перед записью ответа

СоветСоставь уравнение по S = v·t и в конце отсей корни с отрицательной скоростью или временем

Задачи на движение (задание 11)

Модель движения

Основная формула	s = v·t
По течению	скорость = v + u
Против течения	скорость = v − u
Ключ к уравнению	приравнять времена или пути

Запомни

Стоянки и задержки прибавляются ко времени, но не к пути. Время каждого участка удобно выразить как s/v и составить уравнение по суммарному времени.

Ключевые понятия урока

Понятия урока и их короткие определения на одной схеме.

Разбор примера

Катер по реке

Катер (28 км/ч в стоячей воде) идёт по течению, стоит 4 часа и возвращается. Течение 2 км/ч, весь рейс занял 18 часов. Сколько километров прошёл катер?

Показать решение по шагам

1. Время в движении = 18 − 4 = 14 часов.
2. По течению скорость 30, против 26. Путь в одну сторону d: d/30 + d/26 = 14.
3. Общий знаменатель: (26d + 30d)/780 = 14 → 56d/780 = 14 → d = 14·780/56 = 195.
4. Весь рейс — туда и обратно: 2·195 = 390 км.

Ответ: 390

Вопрос на проверку

Собственная скорость лодки 10 км/ч, течение 2 км/ч. Скорость против течения?

Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.

Пять сюжетов движения и их уравнения

Навстречу друг другу	скорость сближения = v₁ + v₂; время до встречи = расстояние / (v₁ + v₂)
Вдогонку	скорость сближения = v₁ − v₂; время = отставание / (v₁ − v₂)
По реке	по течению v + u, против течения v − u. Плот и любой неуправляемый предмет плывёт ровно со скоростью течения u
Два участка пути	уравнение по суммарному времени: s₁/v₁ + s₂/v₂ = T. Стоянки прибавляются ко времени, но не к пути
Средняя скорость	весь путь / всё время. Это НЕ среднее арифметическое скоростей — считать (v₁ + v₂)/2 можно только при равных временах, а не при равных путях
Движение по кругу	догоняющий проходит на один круг больше: разность путей равна длине круга

Разбор примера

Средняя скорость: ловушка с полусуммой

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.

Показать решение по шагам

1. Соблазн написать (60 + 40)/2 = 50. Это неверно: на медленном участке автомобиль провёл больше времени, значит средняя скорость обязана быть ближе к 40, чем к 60.
2. Обозначим весь путь 2s (так удобнее — каждая половина равна s).
3. Время первой половины: s/60. Время второй: s/40.
4. Всё время: s/60 + s/40 = 2s/120 + 3s/120 = 5s/120 = s/24.
5. Средняя скорость = весь путь / всё время = 2s : (s/24) = 2s · 24/s = 48 км/ч.
6. Проверка на числах: пусть каждая половина 120 км. Тогда 120/60 = 2 ч и 120/40 = 3 ч, всего 240 км за 5 ч, то есть 48 км/ч. Сошлось — и действительно меньше 50.

Ответ: Ответ: 48 км/ч

Разбор примера

Встречное движение с задержкой выезда

Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Показать решение по шагам

1. За первый час первый автомобиль прошёл 60 · 1 = 60 км в одиночку.
2. К моменту выезда второго между ними осталось 435 − 60 = 375 км.
3. С этого момента они движутся навстречу, скорость сближения равна 60 + 65 = 125 км/ч.
4. Время до встречи: 375 : 125 = 3 часа.
5. За эти 3 часа первый прошёл ещё 60 · 3 = 180 км. Всего от А: 60 + 180 = 240 км.
6. Проверка: второй за 3 часа прошёл 65 · 3 = 195 км, и 240 + 195 = 435 — они действительно встретились.

Ответ: Ответ: 240 км

Разбор примера

Движение по реке: разность времён

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.

Показать решение по шагам

1. Пусть v — собственная скорость лодки (км/ч). Тогда против течения v − 1, по течению v + 1. Обязательное ограничение: v > 1, иначе лодка не сдвинется против течения.
2. Время против течения: 255/(v − 1). Время по течению: 255/(v + 1). Первое больше второго на 2 часа.
3. Уравнение: 255/(v − 1) − 255/(v + 1) = 2.
4. Приводим к общему знаменателю (v − 1)(v + 1) = v² − 1: (255(v + 1) − 255(v − 1))/(v² − 1) = 2.
5. В числителе 255v + 255 − 255v + 255 = 510. Получаем 510/(v² − 1) = 2.
6. 510 = 2(v² − 1), значит v² − 1 = 255 и v² = 256, откуда v = 16 (корень v = −16 отбрасываем: скорость положительна).
7. Проверка: 255/15 = 17 ч против течения, 255/17 = 15 ч по течению, разность 2 часа. Верно.

Ответ: Ответ: 16 км/ч

Запомни

Отбор корней в задании 11 — обязательная часть решения. Отбрасывают отрицательные скорости и времена, а в задачах «против течения» — ещё и корни, при которых v ≤ u (лодка не может двигаться против течения быстрее нуля). Если после отбора остаётся два корня, перечитай вопрос: обычно один из них противоречит смыслу («мастер делает 0,5 детали в час»).

Вопрос на проверку

Половину пути турист шёл со скоростью 6 км/ч, а вторую половину — со скоростью 3 км/ч. Какова его средняя скорость?

Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.