ЕГЭ 2027 · Математика (профиль)
Задание 11 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ЕГЭ: №11 (текстовая задача на движение)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
Частые ловушки
- Путают скорость сближения / удаления
- Теряют перевод единиц (км/ч ↔ м/с)
- Берут посторонний корень (отрицательная скорость/время)
- ФИПИ-2025: около 3 % записывают в ответ скорость по течению или против течения вместо искомой, а в части вариантов — скорость только на участке из А в В. Перечитайте вопрос перед записью ответа
Совет. Составь уравнение по S = v·t и в конце отсей корни с отрицательной скоростью или временем
Аналитика ЕГЭ: №11 (задача на работу и производительность)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
Частые ловушки
- Складывают время вместо производительностей
- Принимают всю работу не за 1
- Теряют посторонний корень
Совет. Всю работу бери за 1, складывай производительности (1/t), а не времена
Аналитика ЕГЭ: №11 (смеси, сплавы и проценты)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
Частые ловушки
- Считают проценты от разной базы
- Складывают концентрации вместо количества вещества
- Путают массу раствора и массу вещества
Совет. Работай с количеством чистого вещества (масса × концентрация), а не с процентами напрямую
Разборы
Разбор примера
Катер по реке
Катер (28 км/ч в стоячей воде) идёт по течению, стоит 4 часа и возвращается. Течение 2 км/ч, весь рейс занял 18 часов. Сколько километров прошёл катер?
Показать решение по шагам
- 1. Время в движении = 18 − 4 = 14 часов.
- 2. По течению скорость 30, против 26. Путь в одну сторону d: d/30 + d/26 = 14.
- 3. Общий знаменатель: (26d + 30d)/780 = 14 → 56d/780 = 14 → d = 14·780/56 = 195.
- 4. Весь рейс — туда и обратно: 2·195 = 390 км.
Ответ: 390
Разбор примера
Средняя скорость: ловушка с полусуммой
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.
Показать решение по шагам
- 1. Соблазн написать (60 + 40)/2 = 50. Это неверно: на медленном участке автомобиль провёл больше времени, значит средняя скорость обязана быть ближе к 40, чем к 60.
- 2. Обозначим весь путь 2s (так удобнее — каждая половина равна s).
- 3. Время первой половины: s/60. Время второй: s/40.
- 4. Всё время: s/60 + s/40 = 2s/120 + 3s/120 = 5s/120 = s/24.
- 5. Средняя скорость = весь путь / всё время = 2s : (s/24) = 2s · 24/s = 48 км/ч.
- 6. Проверка на числах: пусть каждая половина 120 км. Тогда 120/60 = 2 ч и 120/40 = 3 ч, всего 240 км за 5 ч, то есть 48 км/ч. Сошлось — и действительно меньше 50.
Ответ: Ответ: 48 км/ч
Разбор примера
Встречное движение с задержкой выезда
Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?
Показать решение по шагам
- 1. За первый час первый автомобиль прошёл 60 · 1 = 60 км в одиночку.
- 2. К моменту выезда второго между ними осталось 435 − 60 = 375 км.
- 3. С этого момента они движутся навстречу, скорость сближения равна 60 + 65 = 125 км/ч.
- 4. Время до встречи: 375 : 125 = 3 часа.
- 5. За эти 3 часа первый прошёл ещё 60 · 3 = 180 км. Всего от А: 60 + 180 = 240 км.
- 6. Проверка: второй за 3 часа прошёл 65 · 3 = 195 км, и 240 + 195 = 435 — они действительно встретились.
Ответ: Ответ: 240 км
Разбор примера
Движение по реке: разность времён
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.
Показать решение по шагам
- 1. Пусть v — собственная скорость лодки (км/ч). Тогда против течения v − 1, по течению v + 1. Обязательное ограничение: v > 1, иначе лодка не сдвинется против течения.
- 2. Время против течения: 255/(v − 1). Время по течению: 255/(v + 1). Первое больше второго на 2 часа.
- 3. Уравнение: 255/(v − 1) − 255/(v + 1) = 2.
- 4. Приводим к общему знаменателю (v − 1)(v + 1) = v² − 1: (255(v + 1) − 255(v − 1))/(v² − 1) = 2.
- 5. В числителе 255v + 255 − 255v + 255 = 510. Получаем 510/(v² − 1) = 2.
- 6. 510 = 2(v² − 1), значит v² − 1 = 255 и v² = 256, откуда v = 16 (корень v = −16 отбрасываем: скорость положительна).
- 7. Проверка: 255/15 = 17 ч против течения, 255/17 = 15 ч по течению, разность 2 часа. Верно.
Ответ: Ответ: 16 км/ч
Разбор примера
Два мастера
Первый мастер делает на 4 детали в час меньше второго. Второй выполняет заказ на 220 деталей на 2 ч 40 мин быстрее, чем первый — заказ на 260 деталей. Сколько деталей в час делает второй?
Показать решение по шагам
- 1. Пусть второй делает x деталей/ч, первый x − 4. 2 ч 40 мин = 8/3 ч.
- 2. Время первого на 260: 260/(x−4). Время второго на 220: 220/x.
- 3. Уравнение: 260/(x−4) − 220/x = 8/3.
- 4. Проверяем x = 30: 260/26 − 220/30 = 10 − 22/3 = 30/3 − 22/3 = 8/3 — верно.
- 5. Второй мастер делает 30 деталей в час.
Ответ: 30
Уроки по этой линии
- Задачи с физическими формулами — открыт бесплатно
- Задачи на движение
- Задачи на работу и производительность
- Задачи на смеси, сплавы и проценты
- Последовательности и прогрессии: арифметическая и геометрическая
Потренируй задание 11
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.