ЕГЭ · Математика (профиль) · Часть 2: экономика (№13), параметры (№19), теория чисел (№20)
Экономические задачи №13: сюжеты и оптимизация
Разбираем сюжет «найди максимальный/минимальный кредит» и вклад с пополнением — и реальные задания банка.
🎯 ЕГЭ профиль: этот урок закрывает задание(я) 13.
- ⚠Ищут максимум без проверки границ допустимых значений
- ⚠Забывают целочисленность (число месяцев, изделий)
- ⚠Теряют ограничения из условия при оптимизации
| Оптимизация кредита | выплата ≈ k·S; решаем k·S ≤ лимит, берём наибольшее целое |
|---|---|
| Вклад с пополнением | (накопление)·q + пополнение по годам — геометрическая прогрессия |
После нахождения границы (например S > 5,69) обязательно проверь ближайшее целое подстановкой: из-за округления и направления неравенства легко ошибиться на единицу. И внимательно читай, когда начисляется процент — до или после платежа.
Разбор примера
Пример: оптимизация кредита
Кредит на 6 лет под 20%. Первые 4 года платят только проценты, последние 2 года — равными платежами гасят долг. При какой наименьшей целой сумме кредита S (млн) общая сумма выплат превысит 12 млн?
Показать решение по шагам
- 1. Первые 4 года: платёж = 0,2·S (только проценты), долг остаётся S. Всего за 4 года: 4·0,2·S = 0,8S.
- 2. Последние 2 года гасим долг S равными платежами X при ставке 20%. q = 1,2. X = S·q²·(q−1)/(q²−1) = S·1,44·0,2/(1,44−1) = 0,288S/0,44.
- 3. Сумма двух платежей: 2X = 0,576S/0,44 = 1,309…·S. Общая выплата: 0,8S + 1,309…·S = 2,109…·S — ту же дробь удобно записать как 2,32S/1,1.
- 4. Решаем 2,32S/1,1 > 12 ⟹ S > 13,2/2,32 ≈ 5,69.
- 5. Наименьшее целое S = 6 (млн).
Ответ: 6 млн рублей
Разбор примера
Вклад с ежегодным пополнением: считаем по годам
Вклад 200 000 рублей открыт под 10% годовых на 4 года. Проценты начисляются в конце каждого года, и в конце каждого года дополнительно вносится 100 000 рублей. Какая сумма (в рублях) будет на вкладе в конце срока?
Показать решение по шагам
- 1. Формула сложных процентов S·qⁿ здесь не работает: она описывает вклад, к которому не притрагиваются. Пополнения приходят каждый год, и каждое из них «работает» разное число лет. Надёжнее всего считать по годам таблицей — четыре строки, ошибиться негде.
- 2. Порядок действий внутри года задан условием и важен: сначала начисляют проценты, и только потом вносят деньги. Внесённые 100 000 процентов за этот год уже не приносят.
- 3. Год 1: 200 000 · 1,1 = 220 000; после пополнения 320 000.
- 4. Год 2: 320 000 · 1,1 = 352 000; после пополнения 452 000.
- 5. Год 3: 452 000 · 1,1 = 497 200; после пополнения 597 200.
- 6. Год 4: 597 200 · 1,1 = 656 920; после пополнения 756 920.
- 7. Ответ: 756 920 рублей.
- 8. Полезная проверка порядком величины: без пополнений было бы 200 000 · 1,1⁴ ≈ 292 820, а четыре взноса по 100 000 добавляют не меньше 400 000, — итог около 750 тысяч, что и получилось.
- 9. Где теряют баллы. Меняют порядок операций внутри года: сначала пополняют, потом начисляют проценты. За четыре года такая перестановка даёт разницу в десятки тысяч рублей, и ответ не совпадает. Если в условии сказано «в конце года начисляются проценты, после чего вносится сумма» — так и считайте, буквально.
Ответ: 756 920 рублей
Разбор примера
Задание 13 на оптимизацию: два карьера и производная
Компания добывает руду на двух карьерах. Если на первом добыть x тысяч тонн, затраты составят x² миллионов рублей; если на втором добыть y тысяч тонн, затраты составят 2y² миллионов рублей. Всего нужно добыть 12 тысяч тонн. Каковы наименьшие суммарные затраты (в миллионах рублей)?
Показать решение по шагам
- 1. Половина заданий 13 — не про кредиты, а про оптимизацию: есть величина, которую надо сделать наименьшей или наибольшей, и связь между переменными. Схема всегда одна: выразить всё через одну переменную и исследовать производной.
- 2. Связь дана условием: x + y = 12, причём обе величины неотрицательны, значит 0 ≤ x ≤ 12. Выражаем y = 12 − x.
- 3. Суммарные затраты: f(x) = x² + 2·(12 − x)².
- 4. Раскрываем: f(x) = x² + 2·(144 − 24x + x²) = x² + 288 − 48x + 2x² = 3x² − 48x + 288.
- 5. Производная: f′(x) = 6x − 48. Приравниваем к нулю: x = 8. Слева от восьмёрки производная отрицательна, справа положительна — значит это точка минимума, и других критических точек нет.
- 6. Считаем значение: y = 12 − 8 = 4, затраты f(8) = 64 + 2·16 = 64 + 32 = 96 миллионов рублей.
- 7. Концы отрезка проверяем для порядка: f(0) = 288, f(12) = 144 — оба больше 96.
- 8. Где теряют баллы. Делят добычу поровну «по справедливости»: по 6 тысяч тонн на карьер даёт 36 + 72 = 108 миллионов — на 12 миллионов дороже оптимума. Интуиция здесь обманывает: второй карьер вдвое дороже при той же добыче, поэтому на него грузят меньше. Вторая потеря — забывают, что спрашивают затраты, а не объём x, и записывают в ответ 8.
Ответ: 96 миллионов рублей
Разбор примера
Задание 13: разбор
Кредит 12 млн рублей взят на 4 года. По условию в конце каждого года банк начисляет 25% на оставшийся долг, после чего заёмщик гасит начисленные проценты и 3 000 000 рублей основного долга (долг убывает равными долями). Какую сумму (в рублях) заёмщик выплатит за весь срок?
Показать решение по шагам
- 1. Тело долга гасится равными долями: 12 000 000 : 4 = 3 000 000 руб. в год.
- 2. Год 1: долг 12 000 000, проценты 3 000 000, выплата 6 000 000 руб.
- 3. Год 2: долг 9 000 000, проценты 2 250 000, выплата 5 250 000 руб.
- 4. Год 3: долг 6 000 000, проценты 1 500 000, выплата 4 500 000 руб.
- 5. Год 4: долг 3 000 000, проценты 750 000, выплата 3 750 000 руб.
- 6. Итого: 19 500 000 руб.
Ответ: См. решение
Задание №13 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №13 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос с развёрнутым ответом
Почему в №13 после нахождения границы (например S > 5,69) обязательно проверять ближайшее целое подстановкой?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.