Параметры: аналитический разбор случаев

1. 1. Случай 1: a = 0. Уравнение перестаёт быть квадратным и превращается в линейное 8x + 2 = 0.
2. 2. Его единственный корень x = −2/8 = −0,25. Значит a = 0 подходит.
3. 3. Случай 2: a ≠ 0. Уравнение квадратное, и ровно один корень оно имеет тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю.
4. 4. D = 8² − 4·a·2 = 64 − 8a. Условие D = 0 даёт 64 = 8a, то есть a = 8.
5. 5. Проверка при a = 8: 8x² + 8x + 2 = 0, делим на 2: 4x² + 4x + 1 = 0, то есть (2x + 1)² = 0 — единственный корень x = −0,5. Верно.
6. 6. Объединяем оба случая.

Ответ: Ответ: a = 0 или a = 8

1. 1. Замечаем, что 4ˣ = (2ˣ)². Вводим замену t = 2ˣ; ограничение на новую переменную: t > 0, причём каждому положительному t отвечает ровно один x = log₂t.
2. 2. Уравнение принимает вид t² − a·t + (a + 3) = 0. Задача сводится к условию: ровно один ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ корень.
3. 3. Случай А: дискриминант равен нулю, и единственный корень положителен. D = a² − 4(a + 3) = a² − 4a − 12 = 0. D₁ = 16 + 48 = 64, значит a = (4 + 8)/2 = 6 или a = (4 − 8)/2 = −2.
4. 4. При a = 6: t² − 6t + 9 = (t − 3)² = 0, корень t = 3 > 0 — подходит. При a = −2: t² + 2t + 1 = (t + 1)² = 0, корень t = −1 < 0 — не подходит, исходное уравнение решений не имеет.
5. 5. Случай Б: два различных корня, из которых ровно один положителен. По теореме Виета произведение корней равно a + 3; ровно один положительный корень означает, что произведение отрицательно: a + 3 < 0, то есть a < −3.
6. 6. Проверим, что при a < −3 дискриминант действительно положителен: a² − 4a − 12 = (a − 6)(a + 2), и при a < −3 оба множителя отрицательны, значит произведение положительно. Условие выполнено.
7. 7. Граница a = −3 не подходит: тогда t² + 3t = 0, корни t = 0 и t = −3, положительных нет, и уравнение по x решений не имеет.
8. 8. Проверка на конкретном значении a = −4: t² + 4t − 1 = 0, t = −2 ± √5. Здесь √5 ≈ 2,236, поэтому один корень ≈ 0,236 (положительный), второй ≈ −4,236 (отрицательный). Ровно один корень по x — верно.

Ответ: Ответ: a ∈ (−∞; −3) ∪ {6}

1. 1. Прежде чем считать дискриминант, стоит присмотреться к коэффициентам: сумма корней равна a + 2, произведение 2a. Числа 2 и a дают ровно такие сумму и произведение, значит трёхчлен раскладывается: x² − (a + 2)x + 2a = (x − 2)(x − a).
2. 2. Корни найдены без всякого дискриминанта: x = 2 и x = a. Дальше задача превращается в разговор о расположении этих двух чисел относительно отрезка [0; 3].
3. 3. Корень x = 2 лежит на отрезке [0; 3] при любом a — это подарок условия. Значит, «ровно один корень на отрезке» означает: второй корень a на отрезке лежать не должен.
4. 4. Случай 1: a < 0 или a > 3. Тогда на отрезке только корень 2 — условие выполнено.
5. 5. Случай 2: a ∈ [0; 3]. Тогда на отрезке лежат оба числа, и корней два — не подходит. Но есть исключение: при a = 2 корни совпадают, уравнение принимает вид (x − 2)² = 0 и корень ровно один. Значит a = 2 в ответ входит.
6. 6. Отдельно проверим края: при a = 0 корни 0 и 2, оба на отрезке — не подходит; при a = 3 корни 3 и 2, оба на отрезке — тоже не подходит.
7. 7. Собираем ответ: a ∈ (−∞; 0) ∪ {2} ∪ (3; +∞).
8. 8. Где теряют баллы. Забывают изолированную точку a = 2. Совпавшие корни — это один корень, а не два, и такие «точечные» куски ответа в задании 19 встречаются постоянно. Вторая потеря — считают через дискриминант и систему неравенств, не заметив разложения: работы втрое больше, а шанс ошибиться выше.

Ответ: Ответ: a ∈ (−∞; 0) ∪ {2} ∪ (3; +∞)

1. 1. Здесь корни через параметр не выражаются красиво, поэтому работаем расположением параболы. Обозначим f(x) = x² − 2(a + 1)x + a² + 2; ветви направлены вверх.
2. 2. Чтобы оба корня были строго больше 1, нужны одновременно три условия: (1) корней два, то есть D > 0; (2) вершина параболы правее единицы, x_в > 1; (3) значение в точке 1 положительно, f(1) > 0 — иначе единица оказалась бы между корнями.
3. 3. Условие (1). Удобнее считать четверть дискриминанта: D/4 = (a + 1)² − (a² + 2) = a² + 2a + 1 − a² − 2 = 2a − 1. Требуем 2a − 1 > 0, то есть a > 0,5.
4. 4. Условие (2). Абсцисса вершины x_в = (a + 1) (это половина суммы корней). Требуем a + 1 > 1, то есть a > 0. Условие (1) уже строже, поэтому здесь ничего нового не появляется.
5. 5. Условие (3). f(1) = 1 − 2(a + 1) + a² + 2 = a² − 2a + 1 = (a − 1)². Это полный квадрат, он неотрицателен всегда, а строго положителен при a ≠ 1.
6. 6. Пересекаем: a > 0,5 и a ≠ 1, то есть a ∈ (0,5; 1) ∪ (1; +∞).
7. 7. Смысл выколотой точки виден при подстановке a = 1: уравнение становится x² − 4x + 3 = 0 с корнями 1 и 3. Корень 1 не больше единицы, условие нарушено — точка действительно исключается.
8. 8. Где теряют баллы. Ограничиваются дискриминантом и сравнением суммы корней с числом. Сумма 2(a + 1) > 2 не гарантирует, что оба корня больше 1: один может быть большим, другой — маленьким. Работает только полный набор из трёх условий, и проще всего держать его в голове как картинку: парабола ветвями вверх целиком правее точки 1.

Ответ: Ответ: a ∈ (0,5; 1) ∪ (1; +∞)