Линейная и квадратичная функции

1. 1. Угловой коэффициент k = −3 отрицателен, значит функция убывает — и на всей оси, и на любом отрезке.
2. 2. Считаем значение на левом конце: y(4) = −12 + 15 = 3.
3. 3. Считаем на правом конце: y(7) = −21 + 15 = −6.
4. 4. Функция убывает от 3 до −6, то есть по дороге пересекает ноль и принимает и положительные, и отрицательные значения.
5. 5. Нуль функции: −3x + 15 = 0 даёт x = 5 — точка внутри отрезка, что подтверждает смену знака.
6. 6. Для прямой двух вычислений всегда достаточно: между концами она ведёт себя монотонно и никаких сюрпризов не преподносит.

Ответ: Ответ: убывает, принимает как положительные, так и отрицательные значения

1. 1. Коэффициент при x² равен 1 > 0, значит ветви вверх и у функции есть минимум.
2. 2. Вершина: x₀ = −(−10) : (2 · 1) = 10 : 2 = 5. Точка 5 лежит внутри отрезка [4; 7].
3. 3. Значит на этом отрезке функция не монотонна: до 5 убывает, после 5 возрастает. Характеристики «возрастает» и «убывает» ей не подходят.
4. 4. Наименьшее значение — в вершине: y(5) = 25 − 50 + 26 = 1.
5. 5. Значения на концах: y(4) = 16 − 40 + 26 = 2 и y(7) = 49 − 70 + 26 = 5.
6. 6. Наименьшее значение на отрезке равно 1 и оно положительно, значит вся функция на отрезке принимает только положительные значения. Это и есть её характеристика.

Ответ: Ответ: не монотонна (убывает до x = 5, затем возрастает), принимает только положительные значения

1. 1. Для каждой функции достаточно двух вещей: понять направление (растёт или убывает) и посчитать значения на концах отрезка.
2. 2. А) y = 3x − 12 — прямая, k = 3 > 0, функция возрастает. y(3) = −3, y(5) = 3. Есть и отрицательные, и положительные значения. Это характеристика 1.
3. 3. Б) y = −3x + 12 — прямая, k = −3 < 0, функция убывает. y(3) = 3, y(5) = −3. Снова оба знака. Это характеристика 3.
4. 4. В) y = x² − 6x + 10. Выделим полный квадрат: x² − 6x + 9 + 1 = (x − 3)² + 1. Наименьшее значение равно 1 и достигается при x = 3 — левом конце отрезка. Значит на всём отрезке y ≥ 1 > 0: только положительные значения, характеристика 4.
5. 5. Г) y = −x² + 6x − 10 = −((x − 3)² + 1). Это та же парабола, отражённая относительно оси Ox, поэтому y ≤ −1 < 0: только отрицательные значения, характеристика 2.
6. 6. Записываем ответ подряд для А, Б, В, Г: 1342.
7. 7. Где теряют баллы. Для парабол проверяют только концы отрезка и забывают про вершину. Здесь вершина совпала с концом x = 3, и всё обошлось, но если бы отрезок был [2; 5], вершина оказалась бы внутри, и наименьшее значение пришлось бы искать именно в ней. Порядок действий надёжнее такой: найти вершину, проверить, лежит ли она в отрезке, и только потом сравнивать значения.

Ответ: 1342

1. 1. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент 1 > 0). Находим вершину: x = −b/(2a) = 10/2 = 5.
2. 2. Проверяем, попадает ли вершина в отрезок: 5 не принадлежит [1; 4]. Значит на всём отрезке функция монотонна — она убывает, потому что весь отрезок лежит левее вершины.
3. 3. Для монотонной функции хватает концов отрезка. y(1) = 1 − 10 + 21 = 12.
4. 4. y(4) = 16 − 40 + 21 = −3.
5. 5. Функция убывает, поэтому наибольшее значение 12 (в точке x = 1), наименьшее −3 (в точке x = 4).
6. 6. Проверка серединой: y(2,5) = 6,25 − 25 + 21 = 2,25 — лежит между −3 и 12, монотонность подтверждается.
7. 7. Где теряют баллы. Автоматически подставляют вершину x = 5 и записывают y(5) = −4 как наименьшее значение. Но точка 5 вне отрезка, и функция там не рассматривается. Первое действие в любой задаче на наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции — проверить, лежит ли вершина внутри отрезка.

Ответ: наибольшее 12, наименьшее −3