Растровое изображение: разрешение и глубина цвета

Линия 7 ЕГЭ — задача про объём файла, и решается она за две минуты, если знать одну формулу. Проблема в том, что формула — самая простая часть. Сложность в том, что именно спрашивают: в одном варианте дан размер картинки и нужен объём, в другом дан объём и нужна палитра, в третьем — высота, в четвёртом сравнивают два файла и просят разницу, в пятом считают, сколько снимков влезет на флешку.

Посмотрите на реальные формулировки банка ФИПИ — они все про одно и то же соотношение, прочитанное в разные стороны:

— «Растровое изображение имеет размер 1024 × 768 пикселей; используется палитра из 256 цветов. Определите размер файла в Кбайт»; — «Несжатое растровое изображение размером 640 × 480 занимает 225 Кбайт. Определите максимально возможное количество цветов в палитре»; — «Несжатый файл занимает 192 Кбайт, палитра 16 цветов, ширина 1024 пикселя. Определите высоту изображения»; — «На носителе свободно 30 Мбайт. Сколько таких изображений поместится?»; — «Программа пересохраняет снимок в размере 800 × 600 с глубиной 8 бит. Сколько Кбайт экономится при передаче 100 фотографий?»

Поэтому урок построен не вокруг формулы, а вокруг четырёх типов вопроса: прямой, обратный, сравнение двух файлов и «сколько поместится». Для каждого — разбор с полными вычислениями, а в конце — короткая программа, которой удобно проверять себя на черновике и которой нельзя ошибиться в арифметике.

Растровое изображение описывается тремя числами, и больше в задании 7 ничего нет.

Ширина W — сколько пикселей в строке. Высота H — сколько строк. Их произведение — общее число пикселей. Для 1024 × 768 это 786 432 пикселя, и эта величина в задаче почти всегда промежуточная: её считают, но в ответе она не появляется.

Глубина цвета k — сколько бит отводится на один пиксель. Это единственное место, где ученики теряют балл на ровном месте, потому что в условии глубину часто задают не прямо, а через палитру: «используется палитра из 256 цветов». Палитра — это число различных цветов N, и связь у них степенная:

N = 2^k, а значит k = log₂N.

Палитра 16 цветов — 4 бита. Палитра 256 цветов — 8 бит. Палитра 16 777 216 цветов — 24 бита. Обратите внимание, насколько велика разница: цветов в 65 536 раз больше, а бит — всего в три раза, потому что растёт показатель степени, а не само число.

Если число цветов не является степенью двойки — скажем, палитра из 100 цветов, — то бит берут с округлением вверх: k = ⌈log₂100⌉ = 7, потому что шести бит хватает только на 64 цвета, а семь дают 128 — с запасом. Дробного числа бит на пиксель не бывает.

Обратный вопрос — «максимально возможное количество цветов при k битах» — читается так же: N = 2^k, и слово «максимально возможное» стоит в условии именно потому, что при k битах палитра может быть и меньше, но больше 2^k быть не может.

Вся линия 7 по изображениям держится на одном равенстве:

I = W · H · k,

где I — объём в битах. Дальше — только перевод единиц: ÷8 даёт байты, ÷1024 — килобайты, ещё ÷1024 — мегабайты.

Это равенство связывает четыре величины, и задача получается из него выражением любой из них.

Прямая задача. Известны W, H, k — ищем I. Просто перемножаем.

Обратная по глубине. Известны I, W, H — ищем k: k = I / (W · H). Затем, если спрашивают палитру, возводим двойку в эту степень.

Обратная по размеру. Известны I, k и одна сторона — ищем вторую: сначала число пикселей W · H = I / k, потом делим на известную сторону.

Сколько поместится. Известны объём носителя V и объём одного файла I — ищем ⌊V / I⌋, целую часть от деления. Округление здесь всегда вниз: половина картинки не картинка.

Важно: I в формуле — в битах, а условие почти всегда даёт объём в Кбайт или Мбайт. Поэтому первым действием обратной задачи всегда идёт перевод в биты: умножить на 1024 нужное число раз и ещё на 8. Забыть эту восьмёрку — самая частая ошибка линии 7, и она даёт ответ ровно в восемь раз меньше правильного.

Посмотрите на решение прямой задачи двумя способами.

Десятичный. 1024 · 512 · 16 = 8 388 608 бит. Делим на 8: 1 048 576 байт. Делим на 1024: 1024 Кбайт. Делим ещё на 1024: 1 Мбайт. Четыре длинных деления, и каждое можно испортить.

В степенях двойки. 1024 = 2¹⁰, 512 = 2⁹, 16 = 2⁴. Объём равен 2¹⁰⁺⁹⁺⁴ = 2²³ бит. Байт — это 2³ бит, значит объём 2²³⁻³ = 2²⁰ байт. Мегабайт — это 2²⁰ байт, значит ответ 2²⁰⁻²⁰ = 2⁰ = 1 Мбайт.

Во втором способе нет ни одного умножения — только сложение и вычитание показателей. Умножение превращается в сложение показателей, деление — в вычитание. Ошибиться в сложении однозначных чисел практически невозможно, а в делении семизначного числа на 1024 — легко.

Запомните три перехода как вычитание из показателя:

• • — биты → байты: −3 (делим на 2³);
• • — байты → Кбайт: −10;
• • — Кбайт → Мбайт: −10;
• • — значит, биты → Мбайт сразу: −23.

Приём работает всегда, когда все размеры — степени двойки, а в линии 7 они такие почти всегда: 512, 640, 1024, 1280, 1536, 2048. Числа вроде 800 и 600 степенями двойки не являются, и там придётся считать честно; но и тогда полезно разложить их на множители: 800 · 600 = 480 000, а 480 000 · 8 = 3 840 000 бит — умножать на 8 куда приятнее, чем на 24.

Экран не умеет хранить «картинку». Он хранит числа, и превращение изображения в числа называется дискретизацией.

Растровое изображение разбивается сеткой на пиксели — мельчайшие однородные квадратики. Для каждого пикселя хранится его цвет, закодированный числом. Чем мельче сетка, тем больше деталей сохраняется, и тем больше памяти нужно.

Разрешение — размер этой сетки: ширина × высота в пикселях. Изображение 1024 × 768 состоит из 786 432 пикселей.

Глубина цвета i — число бит, отводимое на один пиксель. Связь с числом различимых цветов та же, что и в алфавитном подходе: N = 2ⁱ, где N — количество цветов в палитре.

• • — 1 бит — 2 цвета (чёрно-белое);
• • — 4 бита — 16 цветов;
• • — 8 бит — 256 цветов;
• • — 16 бит — 65 536 цветов;
• • — 24 бита — около 16,7 миллиона цветов; это режим True Color, в котором на каждый из трёх каналов — красный, зелёный, синий — приходится по 8 бит.

Формула объёма растрового изображения:

I = W · H · i,

где W — ширина в пикселях, H — высота в пикселях, i — глубина цвета в битах. Результат получается в битах; чтобы перевести в байты, делят на 8, дальше — на 1024 при переходе к килобайтам.

Цветовые модели. RGB (красный, зелёный, синий) — аддитивная модель для светящихся экранов: цвета складываются, сумма всех трёх на максимуме даёт белый. CMYK (голубой, пурпурный, жёлтый, чёрный) — субтрактивная модель для печати: краски поглощают часть спектра, и сумма стремится к чёрному. Отсюда практическое следствие, о котором спрашивают: одно и то же изображение на экране и на бумаге выглядит по-разному, потому что модели разные.

Растровая графика хранит цвет каждого пикселя. Достоинства: точно передаёт фотографию с плавными переходами тонов. Недостатки: большой объём и потеря качества при увеличении — при растяжении пиксели просто становятся крупнее, и появляется «лесенка».

Векторная графика хранит не пиксели, а описания геометрических объектов: «отрезок из точки A в точку B толщиной 2, круг с центром здесь и радиусом таким-то, заливка такого цвета». Достоинства: малый объём для схем и шрифтов и масштабирование без потери качества — при увеличении фигура пересчитывается заново. Недостаток: фотографию так не опишешь.

Отсюда практическое правило, о котором спрашивают в заданиях: логотипы, схемы, шрифты и чертежи хранят в векторе; фотографии — в растре.

Сжатие. Различают сжатие без потерь (данные восстанавливаются точно; форматы PNG, GIF, а для произвольных данных — архиваторы) и с потерями (часть информации отбрасывается навсегда, зато объём падает в разы; формат JPEG). Сжатие с потерями опирается на особенности зрения: человек плохо замечает мелкие изменения цвета и хорошо — изменения яркости, поэтому цветовую информацию можно огрубить почти незаметно.

Важное следствие для практики: повторное пересохранение JPEG ухудшает изображение каждый раз, потому что потери накапливаются. Для схем и текста на картинке сжатие с потерями противопоказано — вокруг контрастных границ появляются характерные «ореолы».

Растровое изображение — это сетка пикселей, и весь его объём складывается из трёх чисел: ширины, высоты и глубины цвета. Формула I = W · H · k даёт объём в битах, а дальше идут только переводы единиц: ÷8 до байт, ÷1024 до килобайт, ещё ÷1024 до мегабайт.

Глубину в условии почти никогда не дают прямо — её прячут за палитрой. Связь N = 2^k работает в обе стороны: по палитре достаём биты логарифмом с округлением вверх, по битам получаем максимальное число цветов возведением двойки в степень.

Четыре типа вопроса и что в каждом делать: прямой — перемножить; обратный — сначала перевести объём в биты, потом делить; сравнение — «на сколько» значит вычитать, «во сколько раз» значит делить и не переводить единицы вовсе; сколько поместится — привести к одной единице и взять целую часть.

Считайте в степенях двойки: умножение станет сложением показателей, деление — вычитанием, а переходы бит → байт → Кбайт → Мбайт превратятся в вычитание 3, 10 и 10. И проверяйте ответ обратной подстановкой — пятнадцать секунд, которые спасают балл.

В обратной задаче известен объём файла, а найти надо одну из трёх величин справа. Порядок действий один и тот же, и его стоит выучить как ритуал.

Действие первое — перевести объём в биты. Кбайт → байты: ×1024. Мбайт → байты: ×1024 ×1024. Байты → биты: ×8. Пока объём не в битах, формулу трогать нельзя.

Действие второе — поделить на то, что известно. Если ищем глубину — делим на число пикселей. Если ищем сторону — делим на глубину, получая число пикселей, и потом делим на известную сторону.

Действие третье — перевести результат в то, что спрашивают. Если получили k, а спрашивают палитру — возводим двойку в степень k. Если получили число пикселей, а спрашивают высоту — делим на ширину.

Есть хороший способ проверить себя: подставить найденное обратно в прямую формулу и убедиться, что объём сошёлся. Это занимает пятнадцать секунд и ловит почти любую арифметическую ошибку.

Третий тип вопроса линии 7 звучит так: снимок пересохранили с другим размером и другой палитрой, сколько памяти сэкономилось или во сколько раз файл стал меньше. Здесь важно с самого начала различать два разных вопроса, потому что отвечают на них по-разному.

«На сколько» — это разность. Считаем объём до, считаем объём после, вычитаем. Ответ в единицах памяти: битах, Кбайт, Мбайт.

«Во сколько раз» — это отношение. Делим больший объём на меньший. Ответ — безразмерное число, и — важное следствие — при этом не нужно ничего переводить в байты: единицы сокращаются. Отношение 2¹⁰ бит к 2⁷ бит равно 2³ = 8, и точно так же оно равно отношению соответствующих величин в Кбайтах.

Отсюда полезный приём: увидев «во сколько раз», считайте прямо в битах и не трогайте переводы вовсе. Увидев «на сколько Кбайт» — переводите, но один раз в самом конце, уже посчитав разность в битах. Переводить каждое слагаемое отдельно дольше и опаснее.

Есть и вопрос-гибрид: «сколько экономится при передаче 100 фотографий». Порядок действий: разность на одном снимке в битах → умножить на число снимков → перевести в требуемые единицы.

Четвёртый тип: «на носителе свободно 30 Мбайт, каждое изображение 1024 × 768 с палитрой 256 цветов, сколько таких изображений поместится».

Схема решения короткая: посчитать объём одного файла, привести оба объёма к одной единице и поделить. Один файл здесь занимает 1024 · 768 · 8 бит = 786 432 байт = 768 Кбайт. Носитель — 30 Мбайт = 30 · 1024 = 30 720 Кбайт. Делим: 30 720 : 768 = 40 изображений.

Два замечания, которые в этом типе задач решают всё.

Округление всегда вниз. Если бы деление дало 40,7, ответом всё равно было бы 40: сорок первая картинка не влезет целиком, а половина картинки бесполезна. Никакого «округления по правилам математики» здесь нет — берут целую часть.

Единицы приводят до деления, а не после. Соблазн поделить 30 на 768 и что-то домножить велик, но именно там и рождаются ответы, отличающиеся в 1024 раза. Переведите оба числа в Кбайт (или оба в байты) и только потом делите.

Бывает и вариант с оговоркой «кроме изображений, на носителе хранится служебная информация объёмом столько-то». Тогда сначала вычитают служебный объём из свободного, и только остаток делят на размер файла.

Линия 7 решается в уме, но на экзамене вы сидите за компьютером, и глупо не воспользоваться им как калькулятором, который не ошибается в переводах единиц. Особенно это спасает в задачах с несколькими переводами подряд и с округлением вниз: там один пропущенный множитель 1024 стоит балла, а программа этот множитель не забывает никогда.

Полезно завести на черновике одну маленькую функцию и пользоваться ею во всех задачах раздела — и для изображений, и для звука, и для видео. Она строится вокруг того же равенства, только записанного в коде.

Палитра вместо глубины. «256 цветов» — это 8 бит, а не 256. Подстановка числа цветов прямо в формулу увеличивает ответ в 32 раза, и ошибка эта настолько частая, что условия специально пишут через палитру.

Потерянная восьмёрка. Формула даёт биты, а отвечать почти всегда просят в байтах, Кбайт или Мбайт. Забытое деление на 8 даёт ответ, который выглядит правдоподобно, и потому не вызывает подозрений.

1000 вместо 1024. В информатике килобайт — это 2¹⁰ = 1024 байта, а не тысяча. Разница в 2,4 % кажется мелочью, но ответ «733 Кбайт» вместо «768 Кбайт» не засчитают.

Округление не в ту сторону. В задаче «сколько поместится» берут только целую часть. Обратная ошибка — округление вниз при вычислении глубины по числу цветов: там, наоборот, вверх, потому что бит должно хватить на все цвета.

Ответ не в тех единицах. Условие заканчивается словами «ответ дайте в Мбайт, записав только целое число», и это не формальность: посчитанные Кбайты в бланке будут неверными. Возьмите за правило подчёркивать в условии единицу измерения ответа перед началом счёта.