Момент силы и условия равновесия твёрдого тела

Положи карандаш на стол и толкни его двумя пальцами: одним вправо у одного конца, другим влево у другого, с одинаковой силой. Сумма сил равна нулю — карандаш никуда не уедет. Но он закрутится. Значит, «тело покоится» и «сумма сил равна нулю» — не одно и то же.

Такая конструкция называется парой сил: две равные противоположные силы, приложенные в разных точках. Её равнодействующая равна нулю, а момент — нет. Именно пара сил крутит руль автомобиля, отвёртку, водопроводный кран, ворот колодца.

Отсюда два условия равновесия твёрдого тела, а не материальной точки:

ΣF = 0 — центр масс не разгоняется (нет поступательного движения); ΣM = 0 — тело не раскручивается (нет вращения).

Разница между точкой и твёрдым телом принципиальна. У материальной точки вращения не бывает по определению — вращаться нечему, — поэтому в динамике хватало одного условия. Как только тело перестаёт быть точкой (стержень, доска, лестница, кран), появляется второе.

Античная механика знала пять «простых машин»: рычаг, блок, ворот, клин и винт. Их перечислял ещё Герон Александрийский в I веке, и все пять — способы разменять силу на путь.

Рычаг даёт выигрыш, равный отношению плеч. Лом под ящиком, ножницы, гаечный ключ, весло, педаль тормоза, челюсть — всё это рычаги. У ножниц по металлу ручки длинные, а режущая часть короткая: выигрыш в силе. У маникюрных ножниц наоборот — там нужен не выигрыш в силе, а точность и большой ход лезвия.

Неподвижный блок выигрыша в силе не даёт вовсе: это рычаг с равными плечами, ведь радиус один и тот же с обеих сторон. Его смысл в другом — изменить направление усилия: тянуть вниз, стоя на земле, удобнее, чем поднимать вверх.

Подвижный блок даёт выигрыш вдвое: груз висит на двух нитях, и каждая держит половину. Соединяя блоки в полиспаст, выигрыш умножают: система из n подвижных блоков даёт выигрыш примерно в 2n раз. Именно так работает грузовой кран и такелаж на парусном судне.

Наклонная плоскость позволяет поднять груз силой, которая во столько раз меньше веса, во сколько длина склона больше высоты. Отсюда серпантин на горной дороге и пандус у входа.

Клин и винт — это та же наклонная плоскость, только «свёрнутая». Топор, нож, гвоздь, шуруп, домкрат, пресс — везде острый угол превращает небольшое усилие в огромное давление.

Общее правило для всех пяти известно как золотое правило механики: выигрывая в силе, проигрываешь в пути ровно во столько же раз. Работа не меняется. Отсюда же следует важнейший запрет: механизм не может создать энергию, и никакой хитрой комбинацией рычагов и блоков вечный двигатель не построишь. Этот вывод сделали задолго до формулировки закона сохранения энергии — просто перебрав все известные машины.

Плечо — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из оси на прямую, вдоль которой действует сила. Три приёма, которые спасают от типовой ошибки.

Приём первый: продли линию действия силы. Плечо мерят не до точки приложения, а до прямой. Если перпендикуляр из оси не попадает на саму стрелку силы, продолжи стрелку мысленно — плечо найдётся.

Приём второй: разложи наклонную силу. Вместо поиска плеча можно разложить силу на составляющую вдоль стержня (её момент нулевой, линия действия проходит через ось) и поперёк (её плечо равно расстоянию до точки приложения). Для силы под углом α к стержню длиной l момент равен M = F·l·sin α. Оба способа дают одно и то же.

Приём третий: проверь предельными случаями. Сила вдоль стержня момента не создаёт (sin 0 = 0). Сила поперёк стержня создаёт максимальный момент (sin 90° = 1). Если формула этому не подчиняется, в ней ошибка.

И главная тактика решения: ось для моментов выбирают там, где приложена неизвестная сила. Тогда её момент равен нулю, и она не входит в уравнение. Одно уравнение с одним неизвестным вместо системы из трёх.

Формула M = Fd выглядит абстрактно, пока не заметишь, что вся бытовая техника и половина инструментов сконструированы именно вокруг неё.

Дверная ручка всегда стоит у края двери, максимально далеко от петель. Петли — ось вращения, расстояние до ручки — плечо. Попробуй открыть дверь, нажав у самой петли: усилие понадобится в десятки раз больше. Та же логика у педали, руля, вентиля, штурвала.

Гаечный ключ делают тем длиннее, чем крупнее резьба. Накидной ключ на 32 длиннее ключа на 10 не для удобства хвата, а потому, что момент нужен больший, а сила руки та же. Труба, надетая на ключ, — тот же приём, только кустарный; заодно она объясняет, почему так часто срывают резьбу: момент растёт быстрее, чем чувство меры.

Ножницы и кусачки. У кусачек для проволоки ручки длинные, а губки короткие: выигрыш в силе. У парикмахерских ножниц наоборот — там важен большой ход лезвий при небольшом усилии.

Тачка — рычаг, где груз лежит между осью (колесом) и точкой приложения силы (руками). Чем ближе груз к колесу, тем меньше плечо его веса и тем легче везти. Это ровно тот случай, когда «правильно уложить» важнее, чем «сильно поднять».

Подъёмный кран делает вещь, противоположную по знаку: у него плечо груза длинное, поэтому нужен противовес с другой стороны, и его момент должен быть не меньше момента груза. Отсюда и правила: чем дальше вылет стрелы, тем меньше допустимая масса груза. В паспортах кранов эта зависимость публикуется таблицей — по сути, таблицей моментов.

И самый неожиданный пример — собственный скелет. Бицепс крепится к предплечью всего в нескольких сантиметрах от локтя, а груз в ладони находится в тридцати сантиметрах. Плечо мышцы в десять раз меньше плеча груза, значит, мышца развивает усилие в десять раз больше веса груза: удерживая пятикилограммовую гантель, бицепс тянет с силой около 500 Н. Природа сознательно пожертвовала силой ради скорости и амплитуды: маленькое сокращение мышцы даёт большое движение руки. Это всё то же золотое правило механики.

Центр тяжести — точка, к которой можно считать приложенной равнодействующую всех сил тяжести, действующих на части тела. У однородного симметричного тела он лежит в центре симметрии: у стержня — посередине, у диска и шара — в центре, у треугольной пластины — в точке пересечения медиан. У тела неправильной формы его находят опытом: подвешивают тело за две разные точки, проводят вертикали — они пересекаются в центре тяжести. Заметь: центр тяжести может лежать вне тела — у бублика, у подковы, у бумеранга.

Условие устойчивости. Тело не опрокинется, пока вертикаль, проведённая через центр тяжести, проходит внутри площади опоры. Как только она выходит за край — появляется опрокидывающий момент, и тело падает.

Отсюда всё, что мы знаем по опыту. Широко расставленные ноги устойчивее сведённых: площадь опоры больше. Гоночный автомобиль делают низким, а фургон опрокидывается в повороте: чем ниже центр тяжести, тем сильнее надо наклонить тело, чтобы вертикаль вышла за опору. Ванька-встанька возвращается в вертикальное положение потому, что тяжёлое полушарие внизу всегда стремится опустить центр тяжести как можно ниже.

Три вида равновесия. Устойчивое — при малом отклонении центр тяжести поднимается, и тело возвращается назад (шарик в ямке). Неустойчивое — центр тяжести опускается, отклонение растёт (шарик на вершине горки). Безразличное — центр тяжести не меняет высоту (шарик на горизонтальном столе). Правило общее: устойчиво то положение, в котором потенциальная энергия минимальна.

Равновесие бывает трёх видов, и различают их по одному вопросу: что произойдёт, если тело чуть-чуть сдвинуть.

Устойчивое равновесие. Шарик на дне ямки. Сместим его — возникает сила, возвращающая его обратно. Энергетически это означает, что потенциальная энергия в положении равновесия минимальна: любое смещение поднимает центр тяжести, а поднять его само собой тело не может. Все конструкции, которым положено стоять, делают именно такими: у неваляшки центр тяжести опущен почти к самому основанию.

Неустойчивое равновесие. Шарик на вершине горки. Формально силы уравновешены, но малейший толчок — и тело уходит прочь. Потенциальная энергия здесь максимальна: любое смещение центр тяжести опускает. Карандаш, поставленный на остриё, стоит в неустойчивом равновесии, поэтому и не стоит.

Безразличное равновесие. Шарик на горизонтальном столе, колесо на оси. Сдвинули — осталось в новом положении. Потенциальная энергия при смещении не меняется.

Практический критерий для тел, стоящих на опоре, мы уже сформулировали: тело устойчиво, пока вертикаль из центра тяжести проходит внутри площади опоры. Из него следуют два инженерных вывода. Первый: устойчивость тем выше, чем ниже центр тяжести и шире опора. Второй: чтобы опрокинуть тело, надо сначала приподнять его центр тяжести — а значит, совершить работу. Величина этой работы и есть мера устойчивости, поэтому широкий низкий предмет опрокинуть труднее, чем узкий высокий той же массы.

Проверь понимание на живом примере. Почему человек, несущий тяжёлый рюкзак за спиной, наклоняется вперёд? Потому что общий центр тяжести системы «человек плюс рюкзак» смещается назад, и чтобы вернуть вертикаль внутрь площади стоп, приходится наклонять корпус.

Простых механизмов в школьном курсе шесть: рычаг, блок, ворот, наклонная плоскость, клин и винт. Первые три — это рычаг в разных видах, последние три — наклонная плоскость.

Наклонная плоскость. Чтобы поднять груз массой m на высоту h, нужна работа mgh. По наклонной длиной l тянуть приходится силой F = mg·sin α = mg·h/l — во столько раз меньше, во сколько длина больше высоты. Работа та же: F·l = mg·h. Пандус для коляски, серпантин в горах, трап — всё это наклонная плоскость, размен силы на путь.

Клин — это наклонная плоскость, которую двигают вдоль основания: топор, нож, зубило, гвоздь. Выигрыш в силе равен отношению длины клина к толщине его обуха. Поэтому длинный тонкий нож режет легче короткого толстого.

Винт — наклонная плоскость, навёрнутая на цилиндр. Один оборот рукоятки длиной R даёт путь 2πR, а груз поднимается на шаг резьбы h. Выигрыш в силе равен 2πR/h и может достигать сотен раз — поэтому домкратом один человек поднимает автомобиль.

И везде одно и то же ограничение — золотое правило механики: во сколько раз выигрываем в силе, во столько же проигрываем в перемещении. Реальные механизмы даже чуть хуже: часть работы съедает трение, поэтому их КПД меньше 100 %. У винтового домкрата КПД может быть всего 30–40 %, зато он не раскручивается обратно под нагрузкой — трение здесь и вред, и польза одновременно.