Механические колебания. Маятники

Пусть дано x = 0,05·cos(10t) (СИ). Сравниваем с x = A·cos(ωt + φ₀): множитель перед косинусом — это амплитуда A = 0,05 м; множитель при t внутри косинуса — это циклическая частота ω = 10 рад/с. Дальше всё восстанавливается механически: T = 2π/ω = 0,63 с; ν = 1/T ≈ 1,6 Гц; v_max = ωA = 10·0,05 = 0,5 м/с; a_max = ω²A = 100·0,05 = 5 м/с². Типичная ошибка — принять число при t за частоту в герцах: чтобы получить ν, число нужно поделить на 2π. Если в условии стоит x = 0,2·sin(4πt), то ω = 4π рад/с, а ν = ω/2π = 2 Гц.

Полная механическая энергия гармонического осциллятора сохраняется (если нет трения) и всё время перетекает из потенциальной в кинетическую: m·v²/2 + k·x²/2 = const. В крайних точках скорость равна нулю и вся энергия потенциальная: E = k·A²/2. В положении равновесия смещение равно нулю и вся энергия кинетическая: E = m·v_max²/2. Приравняв, получаем полезную связь v_max = A·√(k/m) = ωA. Отсюда важное следствие: энергия пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому увеличение амплитуды вдвое даёт энергию в 4 раза больше. Ещё одна деталь, которую спрашивают: кинетическая и потенциальная энергии колеблются с периодом T/2, вдвое чаще самой координаты, потому что за один период система дважды проходит равновесие и дважды оказывается в крайней точке.

По преданию, семнадцатилетний Галилей в 1583 году в соборе Пизы наблюдал за качающейся люстрой и заметил, что размах постепенно уменьшается, а время одного качания не меняется. Часов у него не было, и он мерил время по собственному пульсу.

Это свойство называется изохронностью: период колебаний не зависит от амплитуды (при малом размахе). Из него выросли маятниковые часы Гюйгенса (1657), и человечество впервые получило точное время — именно оно сделало возможной и навигацию, и экспериментальную физику.

Формулы периода:

Математический маятник: T = 2π√(l/g). Зависит только от длины нити и от g. Ни массы, ни амплитуды в формуле нет.

Пружинный маятник: T = 2π√(m/k). Зависит от массы и жёсткости. Ни g, ни амплитуды в формуле нет, поэтому пружинный маятник одинаково работает и на Земле, и на Луне, и в невесомости — а вот математический в невесомости качаться не будет вовсе.

Отсутствие амплитуды в обеих формулах — не случайность, а признак гармонических колебаний: возвращающая сила пропорциональна смещению. Для математического маятника это выполняется только при малых углах (примерно до 5–10°): там sin α ≈ α. При большом размахе период начинает расти, и формула перестаёт работать — это важная граница модели.

Кстати, из T = 2π√(l/g) следует практический способ измерить g в школьной лаборатории: подвесить груз на нити, измерить период по 20–30 колебаниям, выразить g = 4π²l/T². Это стандартное задание 20 на планирование эксперимента.

В гармонических колебаниях полная механическая энергия сохраняется, а её части непрерывно перетекают друг в друга. Для пружинного маятника

E = kA²/2 = mv_макс²/2,

где A — амплитуда. Отсюда сразу видно: энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Раскачали маятник вдвое сильнее — энергии вложили вчетверо больше.

Где что максимально, удобно свести в одну картину. В крайних точках (x = ±A) смещение максимально, скорость равна нулю, ускорение и возвращающая сила максимальны, вся энергия потенциальная. В положении равновесия (x = 0) смещение нулевое, скорость максимальна, ускорение и сила равны нулю, вся энергия кинетическая.

Отсюда ещё один факт, который часто спрашивают: кинетическая и потенциальная энергии меняются вдвое чаще самих колебаний. За один период маятник дважды проходит положение равновесия и дважды оказывается в крайней точке, значит каждая энергия дважды достигает максимума. Период колебаний энергии равен T/2.

Затухание. В реальности трение уносит энергию, и амплитуда убывает. Важно: период при этом почти не меняется — маятник качается всё слабее, но с той же частотой. Именно поэтому маятниковые часы идут верно, пока пружина или гиря подкачивает в них энергию.

Линия 18 проверяет точность формулировок, и тема колебаний даёт их особенно много. Разберём величины по одной, отмечая, от чего каждая зависит и не зависит.

Амплитуда A — наибольшее отклонение от положения равновесия. Определяется тем, как систему вывели из равновесия, и на период не влияет (при малых колебаниях). Отсюда изохронность, открытая Галилеем: маятник качается с одним и тем же периодом и при большом, и при малом размахе.

Период T — время одного полного колебания. Полное колебание — это возвращение в исходную точку с тем же направлением движения, а не движение «туда», как часто думают. За период маятник проходит путь 4A.

Частота ν — число колебаний в секунду, ν = 1/T. Циклическая частота ω = 2πν == = 2π/T — та самая, что стоит в уравнении под знаком косинуса.

От чего зависит период. У математического маятника T = 2π√(l/g): только от длины нити и от ускорения свободного падения; не зависит от массы груза и амплитуды. У пружинного T = 2π√(m/k): только от массы и жёсткости; не зависит от амплитуды и от g — такой маятник будет колебаться одинаково и на Земле, и на Луне, и в невесомости.

Где что максимально. В крайних точках скорость равна нулю, а ускорение, сила и потенциальная энергия максимальны. В положении равновесия наоборот: максимальны скорость и кинетическая энергия, а ускорение и равнодействующая сила равны нулю. Полная механическая энергия при отсутствии трения постоянна и равна kA²/2 для пружинного маятника.

Частая подмена в заданиях. «В положении равновесия на тело не действуют силы» — неверно: силы действуют, но их равнодействующая равна нулю. «Ускорение максимально там, где максимальна скорость» — неверно: наоборот, они максимальны в разных точках. «Период зависит от амплитуды» — неверно для малых колебаний.