Механика жидкостей: давление, Паскаль, Архимед

Поставь кирпич на стол: он давит вниз и только вниз. Налей в тот же объём воду — она давит на дно, на стенки, а если опустить в неё ладонь, то и на ладонь снизу вверх. Разница в том, что молекулы жидкости свободно перемещаются друг относительно друга, и любое сжатие мгновенно передаётся во все стороны.

Это и есть содержание закона Паскаля: давление, произведённое на жидкость или газ, передаётся без изменения во всех направлениях одинаково.

Гидростатическое давление столба жидкости получается из простого рассуждения. Выделим вертикальный столб жидкости высотой h с площадью основания S. Его вес: mg = ρ·V·g = ρ·S·h·g. Это давит на площадку S, значит давление p = mg/S = ρ·g·h. Площадь сократилась — вот почему давление не зависит ни от ширины сосуда, ни от его формы.

Следствие называют гидростатическим парадоксом: в тонкой трубке и в широкой бочке на одинаковой глубине давление одинаково, хотя веса жидкости различаются в тысячи раз. Паскаль показал это эффектным опытом: вставил в закрытую бочку с водой длинную узкую трубку, налил в неё сверху несколько стаканов воды — и бочку разорвало. Несколько килограммов воды создали давление, какое дал бы многометровый столб.

Сообщающиеся сосуды. Однородная жидкость в соединённых сосудах любой формы встаёт на один уровень: иначе на дне соединения давления были бы разными и жидкость потекла бы. Если жидкости разные и не смешиваются, уровни уже разные, но давления на границе равны: ρ₁h₁ = ρ₂h₂, и более лёгкая жидкость стоит выше.

В 1643 году ученик Галилея Эванджелиста Торричелли запаял с одного конца стеклянную трубку длиной около метра, заполнил её ртутью, перевернул и опустил открытым концом в чашку с ртутью. Ртуть в трубке опустилась, но не вытекла: она остановилась на высоте примерно 760 мм, а над ней осталась пустота (её так и называют — торричеллиева пустота).

Объяснение: столб ртути удерживает атмосферное давление, действующее на поверхность ртути в чашке. Значит, атмосферное давление равно давлению столба ртути высотой 760 мм:

p = ρ·g·h = 13 600 · 9,8 · 0,76 ≈ 101 000 Па.

Отсюда старинная единица «миллиметр ртутного столба»: 760 мм рт. ст. = 1 атм ≈ 10⁵ Па. Если бы Торричелли взял воду вместо ртути, трубка понадобилась бы высотой более 10 метров — плотность воды в 13,6 раза меньше. Именно поэтому обычный всасывающий насос не может поднять воду выше 10 м: выше атмосферного давления не хватает.

Атмосферное давление убывает с высотой: на вершине Эльбруса оно примерно вдвое меньше, чем у моря, — поэтому там трудно дышать, а вода кипит уже около 80 °C.

Сегодня фраза «атмосфера давит на нас с силой около 10 тонн на квадратный метр» звучит буднично. В XVII веке она была революционной: господствовало убеждение, что «природа боится пустоты», и именно этим объясняли, почему вода поднимается за поршнем насоса.

Первая трещина пошла от практики. Флорентийские колодезники обнаружили, что всасывающий насос не может поднять воду выше примерно десяти метров, как бы хорошо он ни был сделан. Если бы дело было в «боязни пустоты», никакого предела быть не должно.

Загадку решил ученик Галилея Эванджелиста Торричелли. Он предположил: воду поднимает не пустота, а давление воздуха снаружи, и высота столба определяется тем, какой вес жидкости это давление способно удержать. Проверить на воде было неудобно — нужна трубка в десять метров. Торричелли взял ртуть, которая тяжелее воды в 13,6 раза, и в 1643 году поставил знаменитый опыт: заполненную ртутью трубку перевернул в чашку. Ртуть опустилась до высоты около 760 мм и остановилась. Над ней осталась пустота — первый в истории рукотворный вакуум, до сих пор называемый торричеллиевой пустотой.

Решающее подтверждение добавил Блез Паскаль в 1648 году. Рассуждение простое: если столб держит вес воздуха, то на горе, где воздуха над головой меньше, столб должен быть ниже. Паскаль поручил шурину подняться с барометром на вершину Пюи-де-Дом высотой около 1460 м — ртуть опустилась примерно на 8 сантиметров. Гипотеза стала фактом, а барометр — первым высотомером.

Самую зрелищную демонстрацию устроил Отто фон Герике, бургомистр Магдебурга, в 1654 году. Он сложил два медных полушария, откачал изнутри воздух своим насосом и запряг с каждой стороны по восемь лошадей. Полушария не разошлись. Никакого клея не было — их держало атмосферное давление, а сила давления равна произведению давления на площадь: у полушарий диаметром около 40 см это больше десяти килоньютонов.

Вот почему в задачах ЕГЭ атмосферное давление никогда нельзя «забыть»: оно входит в формулу p = p₀ + ρgh, действует на поршень и на поверхность жидкости и почти всегда оказывается самым большим слагаемым.

Возьмём три сосуда с одинаковой площадью дна и нальём воду до одной и той же высоты. Первый — цилиндр, второй расширяется кверху, третий сужается. Воды в них разное количество: в расширяющемся её в разы больше.

Вопрос: одинаково ли давление на дно? Ответ, который даёт формула p = ρgh: да, одинаково, потому что в неё входит только высота столба и плотность. А раз площадь дна одна и та же, то и сила давления на дно одинакова — независимо от того, сколько воды в сосуде и сколько она весит.

Это и называется гидростатическим парадоксом. Он выглядит нарушением здравого смысла: как может килограмм воды давить на дно так же, как пять килограммов?

Разгадка — в стенках. В расширяющемся кверху сосуде часть веса воды воспринимают наклонные стенки: они давят на воду вниз-внутрь, а вода на них вверх-наружу по третьему закону. До дна «доходит» не весь вес. В сужающемся сосуде наоборот: стенки давят на воду наружу-вниз, добавляя к силе на дне, и она оказывается больше веса налитой воды. Никакого нарушения законов нет: полный баланс сил всегда сходится, если учесть реакцию стенок.

Паскаль демонстрировал этот эффект наглядно: в бочку, наполненную водой, он вставил длинную тонкую трубку и влил в неё несколько стаканов воды. Высота столба выросла на несколько метров — и бочка лопнула. Несколько стаканов сделали то, чего не сделали вёдра, потому что давление определяет высота, а не количество.

Это не курьёз, а рабочий принцип. Водонапорная башня снабжает целый район не потому, что в ней много воды, а потому, что она высокая: давление в кране определяется разностью высот, а не объёмом бака. По той же причине у плотины толщина растёт книзу — давление у дна больше, и стенка должна его выдержать. И по этой же причине глубоководный аппарат рассчитывают на глубину, а не на объём океана: на километре давление около 10 МПа, то есть примерно сто атмосфер, и это следует из одной формулы ρgh.

Сравнение двух сил решает судьбу тела в жидкости: сила тяжести mg = ρ_т·V·g тянет вниз, сила Архимеда F = ρ_ж·V_погр·g толкает вверх.

ρ_тела больше ρ_{жидкости} — тело тонет и лежит на дне. При этом сила Архимеда никуда не девается: тело на дне «легче» на вес вытесненной жидкости.

ρ_тела равна ρ_{жидкости} — тело висит в толще жидкости на любой глубине (нейтральная плавучесть). Именно так плавает рыба: она меняет объём плавательного пузыря, подгоняя свою среднюю плотность под плотность воды. Так же работает балласт подводной лодки.

ρ_тела меньше ρ_{жидкости} — тело всплывает и плавает, погрузившись частично. Доля погружённого объёма равна отношению плотностей: V_погр/V = ρ_т/ρ_ж. Лёд плотностью 900 кг/м³ в пресной воде погружён на 90 %, в морской (1030 кг/м³) — примерно на 87 %. Отсюда и поговорка про «верхушку айсберга»: над водой около одной десятой объёма.

А как же стальной корабль? Плотность стали 7800 кг/м³, вчетверо больше воды. Но корабль — не сплошной кусок стали: внутри воздух, и средняя плотность судна вместе с трюмами и надстройками получается меньше 1000 кг/м³. Пробоина заполняет трюм водой, средняя плотность растёт — и судно тонет. В формулу плавания всегда подставляют именно среднюю плотность тела.

Вопрос кажется парадоксальным только до тех пор, пока в формуле Архимеда путают, чья плотность и чей объём.

Выталкивающая сила равна F = ρ_{жидкости} · g · V_{погружённой} части. В ней нет ни плотности тела, ни его массы. Тонуть или плавать решает сравнение этой силы с весом тела.

Гвоздь сплошной: его объём — это объём стали, а сталь в 7,8 раза плотнее воды. Вытесненная вода весит в 7,8 раза меньше гвоздя, и он идёт ко дну.

Корпус корабля полый. Если посчитать среднюю плотность судна — массу всей конструкции, включая двигатели и груз, поделить на объём корпуса вплоть до палубы, — она окажется меньше плотности воды, обычно раз в пять-десять. Поэтому корабль плавает, погрузившись лишь частично: ровно настолько, чтобы вытесненная вода весила столько же, сколько судно.

Эта же логика отвечает на вопрос, почему у судна есть предел загрузки. Грузим — судно оседает — вытесняет больше воды — выталкивающая сила растёт и уравновешивает новый вес. Так до тех пор, пока вода не дойдёт до края борта. На бортах судов есть специальная отметка — грузовая марка, она показывает максимально допустимую осадку; отдельные линии соответствуют разной солёности и температуре воды, потому что от них зависит её плотность.

Тот же расчёт объясняет и то, как управляют подводной лодкой. У неё есть балластные цистерны: заполнили водой — средняя плотность выросла, лодка погружается; продули сжатым воздухом — плотность упала, лодка всплывает. Заметь: меняется не объём, а масса, то есть средняя плотность.

И последний случай той же формулы — воздухоплавание. Архимедова сила действует и в газе: шар с горячим воздухом или гелием вытесняет холодный плотный воздух, и если вытесненный воздух весит больше, чем шар с оболочкой и корзиной, шар поднимается. Плотность воздуха при нормальных условиях около 1,29 кг/м³, гелия — около 0,18; разница на каждый кубометр даёт подъёмную силу примерно в один килограмм-силу. Отсюда сразу видно, почему воздушные шары такие огромные: чтобы поднять тонну, нужна тысяча кубометров газа.

Гидростатика попадает в экзамен двумя способами, и готовиться к ним надо по-разному.

Задание 4 — расчёт. Дают числа, просят величину: силу Архимеда, давление на глубине, объём погружённой части, показание динамометра. Здесь важна дисциплина единиц: литры перевести в кубометры (1 л = 0,001 м³), сантиметры — в метры, граммы — в килограммы. Больше половины потерянных баллов в этой линии — не физика, а незамеченный литр.

Задание 6 — качественное изменение. Меняют один параметр и спрашивают, что станет с двумя величинами. Здесь считать вообще не нужно, нужно смотреть на формулу.

Разберём типовой сюжет. Деревянный шарик плавает в воде; его перенесли в керосин (плотность меньше воды). Что будет с силой Архимеда и с объёмом погружённой части?

Сила Архимеда: шарик плавает и там, и там, значит F_A равна его весу — а вес не изменился. Сила Архимеда не изменилась.

Объём погружённой части: из F_A = ρ_ж·g·V_погр при неизменной F_A и меньшей ρ_ж объём обязан вырасти. Погружение увеличилось — в керосине шарик сидит глубже.

Приём общий: выпиши формулу, отметь, что в ней задано условием, и посмотри, что обязано измениться. Спорить «на ощущениях» в задании 6 — верный способ потерять два балла.