ЕГЭ · Физика · Квантовая физика: фотоны, атом и ядро
Фотоэффект и уравнение Эйнштейна
Свет выбивает электроны из металла — но только если его частота достаточно велика. Это фотоэффект, и он не объясним волновой теорией. Задание 17.
🎯 ЕГЭ физика: этот урок закрывает задание(я) 17.
- ⚠Считают, что фотоэффект зависит от интенсивности (зависит от частоты — есть красная граница)
- ⚠Путают работу выхода Aвых и максимальную кинетическую энергию электронов
- ⚠Считают, что число электронов зависит от частоты (зависит от интенсивности)
Определение
Фотоэффект — вырывание электронов из вещества под действием света (открыт Герцем, изучен Столетовым). Волновая теория его не объясняет — загадку решил Эйнштейн через фотоны.
Три закона фотоэффекта
• Число вырванных электронов (фототок насыщения) ∝ интенсивности света.
• Макс. кинетическая энергия зависит только от частоты, не от интенсивности.
• Есть красная граница νкр (λкр): ниже неё фотоэффекта нет ни при какой яркости.
| Основная запись | h·ν = Aвых + Eк max |
|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк max = m·v²max/2 |
| Красная граница | Aвых = h·νкр = h·c/λкр |
| По запирающему напряжению | Eк max = e·Uзап |
Ловушка задания 17/18: интенсивность (яркость) меняет число электронов, но НЕ их энергию. Энергию каждого задаёт только частота. Если h·ν < Aвых — фотоэффекта нет.
Фотоэффект: три закона, которые взорвали классическую физику
Фотоэффект — вырывание электронов из вещества под действием света. Открыл явление Герц (1887), подробно исследовал А. Г. Столетов (1888), и опытные законы оказались вопиюще несовместимы с волновой теорией света.
Закон первый. Число вырванных электронов (фототок насыщения) пропорционально интенсивности света. Тут всё как ожидалось.
Закон второй. Максимальная кинетическая энергия электронов зависит только от частоты света и не зависит от интенсивности. А вот это уже необъяснимо: по волновой теории более яркий свет должен сильнее раскачивать электрон и выбивать его быстрее.
Закон третий. Существует красная граница: при частоте ниже некоторой νmin фотоэффекта нет вообще, какой бы яркой ни была лампа и сколько бы времени ни светили. Волновая теория здесь бессильна полностью: она предсказывает, что слабый свет просто дольше накапливает энергию, и электрон вылетит с задержкой в минуты. На опыте задержки нет вовсе — электроны вылетают за миллиардные доли секунды или не вылетают никогда.
Объяснение Эйнштейна (1905). Свет — поток фотонов, и один электрон поглощает ровно один фотон целиком. Энергия фотона тратится на работу выхода (на вырывание из металла) и на кинетическую энергию:
hν = Aвых + m·v²/2.
Всё сходится мгновенно. Ярче свет — больше фотонов — больше электронов (закон 1). Энергия каждого электрона зависит от энергии одного фотона, то есть от частоты (закон 2). Если hν меньше Aвых, фотону просто не хватает энергии, и сколько бы таких фотонов ни пришло, ни один электрон не вылетит — накапливать нечего (закон 3).
Красная граница: νmin = Aвых/h, или λmax = hc/Aвых.
График Eₖ(ν): прямая, в которой спрятаны две константы
Уравнение Эйнштейна hν = Aвых + Eₖ можно переписать как Eₖ = hν − Aвых — и это уравнение прямой в осях «максимальная кинетическая энергия — частота». Такой график ФИПИ рисует регулярно, и читается он по трём признакам.
Наклон прямой равен постоянной Планка h. Он одинаков для всех металлов: замена катода сдвигает прямую, но не поворачивает её. Именно из наклона такого графика значение h и определяют экспериментально — это один из способов «измерить» фундаментальную константу в школьной задаче.
Точка пересечения с осью частот — красная граница νкр. Левее неё кинетическая энергия была бы отрицательной, что бессмысленно: фотоэффекта просто нет. Отсюда Aвых = hνкр и λкр = hc/Aвых.
Отрезок, отсекаемый на оси энергии, равен −Aвых. Чем больше работа выхода, тем ниже опущена прямая и тем правее красная граница.
Что из этого следует для заданий. Если увеличить интенсивность света, не меняя частоты, прямая не сдвинется вообще: изменится только число вылетающих электронов, то есть фототок насыщения. Если взять другой металл, прямая сместится параллельно самой себе. Если увеличить частоту, точка на прямой поедет вправо и вверх.
Вторая картинка темы — вольт-амперная характеристика. По ней читают две вещи: фототок насыщения (горизонтальная полка справа — все выбитые электроны долетают до анода, и его величина пропорциональна интенсивности) и задерживающее напряжение Uз (точка, где ток обращается в нуль при обратной полярности). Связь простая: eUз = Eₖ. Задерживающее напряжение зависит только от частоты света и материала катода, но не от интенсивности, — и это самая проверяемая мысль всей темы.
Разбор примера
Фотоэффект: считаем скорость электронов
Работа выхода для цинка 4,0 эВ. На цинковую пластину падает ультрафиолет с длиной волны 200 нм. Найдите максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов и их скорость. Определите красную границу для цинка. m = 9,1·10⁻³¹ кг.
Показать решение по шагам
- 1. Энергия фотона: E = hc/λ = 1,989·10⁻²⁵ / 2·10⁻⁷ ≈ 9,95·10⁻¹⁹ Дж.
- 2. В электронвольтах: 9,95·10⁻¹⁹ / 1,6·10⁻¹⁹ ≈ 6,2 эВ.
- 3. Уравнение Эйнштейна: Eк = hν − A = 6,2 − 4,0 = 2,2 эВ.
- 4. В джоулях: 2,2 · 1,6·10⁻¹⁹ = 3,52·10⁻¹⁹ Дж.
- 5. Скорость: v = √(2Eк/m) = √(2 · 3,52·10⁻¹⁹ / 9,1·10⁻³¹) = √(7,74·10¹¹) ≈ 8,8·10⁵ м/с.
- 6. Красная граница: λmax = hc/A = 1,989·10⁻²⁵ / (4,0 · 1,6·10⁻¹⁹) = 1,989·10⁻²⁵ / 6,4·10⁻¹⁹ ≈ 3,1·10⁻⁷ м = 310 нм.
- 7. Вывод: цинк реагирует только на ультрафиолет (короче 310 нм). Видимым светом фотоэффект из цинка не получить ни при какой яркости — это и есть третий закон в действии.
- 8. Проверка: 200 нм меньше 310 нм, значит фотоэффект идёт. Сходится.
Ответ: Eк = 2,2 эВ, v ≈ 8,8·10⁵ м/с, красная граница около 310 нм.
Разбор примера
Задерживающее напряжение
При облучении катода светом с длиной волны 300 нм фототок прекращается при задерживающем напряжении 1,0 В. Найдите работу выхода материала катода.
Показать решение по шагам
- 1. Задерживающее напряжение останавливает самые быстрые электроны: их кинетическая энергия целиком тратится на работу против поля.
- 2. Eк = e·Uз = 1,6·10⁻¹⁹ · 1,0 = 1,6·10⁻¹⁹ Дж, то есть ровно 1,0 эВ. Электронвольт здесь особенно удобен: числовое значение энергии в эВ совпадает с напряжением в вольтах.
- 3. Энергия фотона: E = hc/λ = 1,989·10⁻²⁵ / 3·10⁻⁷ = 6,63·10⁻¹⁹ Дж ≈ 4,14 эВ.
- 4. Работа выхода: A = hν − Eк = 4,14 − 1,0 = 3,14 эВ.
- 5. В джоулях: 3,14 · 1,6·10⁻¹⁹ ≈ 5,0·10⁻¹⁹ Дж.
- 6. Проверка правдоподобия: работа выхода металлов лежит в диапазоне примерно от 2 эВ (цезий) до 5 эВ (платина). Полученные 3,14 эВ в этот диапазон укладываются.
Ответ: A ≈ 3,14 эВ ≈ 5·10⁻¹⁹ Дж.
Три утверждения о фотоэффекте, которые надо уметь отличать мгновенно. Верно: максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно растёт с частотой света. Верно: число вылетающих электронов (фототок насыщения) пропорционально интенсивности. Неверно: «при достаточно большой яркости фотоэффект начнётся при любой частоте» — ниже красной границы его нет ни при какой интенсивности, потому что электрон получает энергию от одного фотона, а не накапливает её.
Вопрос на проверку
Интенсивность падающего на катод света увеличили вдвое, не меняя частоты. Что произойдёт?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Ловушки темы. Раз: в уравнение Эйнштейна подставляют энергию в эВ, а массу в килограммах, не переведя энергию в джоули. Два: считают, что при большей интенсивности растёт энергия электронов. Три: берут для красной границы условие «hν больше A» со строгим знаком и путают с «λ больше λmax» (для длины волны неравенство переворачивается: фотоэффект идёт при λ меньше λmax). Четыре: забывают, что в формуле стоит максимальная кинетическая энергия — часть электронов вылетает медленнее. Пять: пишут, что электрон может накопить энергию от нескольких фотонов, — в школьной модели нет.
Чек-лист урока
• Знаю три опытных закона фотоэффекта и почему волновая теория их не объясняет.
• Пишу уравнение Эйнштейна hν = A + mv²/2 и понимаю каждое слагаемое.
• Считаю красную границу как ν = A/h или λ = hc/A.
• Помню, что для длины волны условие фотоэффекта λ меньше λmax.
• Использую задерживающее напряжение: Eк = eU.
• Свободно перевожу электронвольты в джоули и обратно.
Фотоэффект в технике
Явление, ради которого пришлось перестраивать физику, сегодня стоит в почти каждом устройстве.
Солнечные батареи. Фотон выбивает электрон в полупроводнике, встроенное поле разделяет заряды — получается ток. КПД бытовых кремниевых панелей около 20 %, и ограничен он как раз квантовой природой: фотоны с энергией меньше нужной не работают вовсе, а избыток энергии у слишком «жёстких» фотонов уходит в тепло.
Матрицы фотоаппаратов и телефонов. Каждый пиксель — маленький приёмник, накапливающий заряд от выбитых электронов. Чем меньше фотонов (тёмная сцена), тем заметнее «шум»: случайный разброс числа частиц и есть та самая зернистость на ночных снимках.
Фотоэлементы и датчики. Турникет, автоматическая дверь, охранная сигнализация, счётчик деталей на конвейере — везде луч света на приёмнике, и прерывание луча даёт сигнал.
Приборы ночного видения и фотоумножители усиливают поток, выбивая из каждого электрона лавину новых: один фотон превращается в измеримый импульс тока.
Почему для солнечных панелей важна именно красная граница. Кремний реагирует на фотоны с энергией выше примерно 1,1 эВ, то есть на видимый и ближний инфракрасный свет. Более длинные волны проходят сквозь панель, не производя тока, — это принципиальная, а не техническая потеря, и обойти её можно только слоями из разных материалов.
Разбор примера
Пример: анализ фотоэффекта (задание 17)
Частоту падающего на фотокатод света немного увеличивают. Как изменятся максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов и работа выхода электронов из металла?
Показать решение по шагам
- 1. Работа выхода Aвых — свойство самого металла, от частоты света она не зависит. Значит не изменится.
- 2. Из уравнения Эйнштейна Eкин max = h·ν − Aвых. Частота ν выросла, Aвых постоянна.
- 3. Значит Eкин max увеличилась.
- 4. Итого: кинетическая энергия увеличивается, работа выхода не изменяется.
Ответ: Максимальная кинетическая энергия увеличивается; работа выхода не изменяется
Вопрос на проверку
Свет освещает металл, но фотоэффекта нет. Что нужно сделать, чтобы он появился?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №17 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №17 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №17 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор примера
Красная граница фотоэффекта по работе выхода
Работа выхода электрона из цинка равна 4,0 эВ. Найдите красную границу фотоэффекта для цинка. Вызовет ли фотоэффект видимый свет с длиной волны 500 нм?
Показать решение по шагам
- 1. Шаг 1 — определение. Красная граница — наибольшая длина волны (наименьшая частота), при которой фотоэффект ещё возможен. На ней вся энергия фотона уходит на работу выхода: hνкр = Aвых, кинетическая энергия равна нулю.
- 2. Шаг 2 — считаем длину волны через удобное соотношение E(эВ) = 1240 / λ(нм), откуда λкр = 1240 / Aвых(эВ) = 1240 / 4,0 = 310 нм.
- 3. Шаг 3 — это ультрафиолет: 310 нм короче фиолетовой границы видимого диапазона (около 380 нм).
- 4. Шаг 4 — проверяем видимый свет 500 нм. Энергия его фотона 1240 / 500 ≈ 2,5 эВ, что меньше работы выхода 4,0 эВ. Значит, фотоэффекта не будет.
- 5. Шаг 5 — и никакая яркость не поможет: электрон получает энергию целиком от одного фотона, а не накапливает её от нескольких. В этом и состоял главный конфликт с волновой теорией, разрешённый Эйнштейном ✔
- 6. Шаг 6 — направление проверки: чем меньше работа выхода, тем больше красная граница по длине волны. У цезия Aвых около 2 эВ, λкр ≈ 620 нм — и у него фотоэффект вызывает уже красный свет.
Ответ: λкр = 310 нм (ультрафиолет). Свет с длиной волны 500 нм фотоэффекта не вызовет: энергия его фотона 2,5 эВ меньше работы выхода 4,0 эВ, и увеличение интенсивности ничего не изменит.
Разбор примера
Находим постоянную Планка по двум точкам графика
В опыте по фотоэффекту при частоте света ν₁ = 7,0·10¹⁴ Гц максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна 0,50 эВ, а при ν₂ = 9,0·10¹⁴ Гц — 1,33 эВ. Определите постоянную Планка и работу выхода материала катода.
Показать решение по шагам
- 1. Шаг 1 — записываем уравнение Эйнштейна для обеих точек: hν₁ = A + Eₖ₁, hν₂ = A + Eₖ₂.
- 2. Шаг 2 — вычитаем одно из другого, чтобы избавиться от неизвестной работы выхода: h(ν₂ − ν₁) = Eₖ₂ − Eₖ₁. Это и есть приём «наклон прямой».
- 3. Шаг 3 — считаем разности: Δν = 2,0·10¹⁴ Гц, ΔEₖ = 1,33 − 0,50 = 0,83 эВ = 0,83 · 1,6·10⁻¹⁹ ≈ 1,33·10⁻¹⁹ Дж.
- 4. Шаг 4 — постоянная Планка: h = ΔEₖ / Δν = 1,33·10⁻¹⁹ / 2,0·10¹⁴ ≈ 6,6·10⁻³⁴ Дж·с. Табличное значение 6,63·10⁻³⁴ — сошлось.
- 5. Шаг 5 — работа выхода из первой точки: A = hν₁ − Eₖ₁ = 6,6·10⁻³⁴ · 7,0·10¹⁴ − 0,80·10⁻¹⁹ ≈ 4,6·10⁻¹⁹ − 0,8·10⁻¹⁹ = 3,8·10⁻¹⁹ Дж ≈ 2,4 эВ.
- 6. Шаг 6 — проверка по второй точке: 6,6·10⁻³⁴ · 9,0·10¹⁴ ≈ 5,9·10⁻¹⁹ Дж ≈ 3,7 эВ; вычитаем Eₖ₂ = 1,33 эВ, получаем ≈ 2,4 эВ. Совпало ✔
Ответ: h ≈ 6,6·10⁻³⁴ Дж·с, работа выхода ≈ 2,4 эВ (около 3,8·10⁻¹⁹ Дж).
Разбор примера
Во сколько раз изменится энергия электронов при смене цвета
Катод освещали светом с длиной волны 700 нм, максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов была Eₖ₁. Затем взяли свет с длиной волны 500 нм. Работа выхода металла 1,5 эВ. Во сколько раз изменилась максимальная кинетическая энергия электронов?
Показать решение по шагам
- 1. Шаг 1 — энергия фотонов: E₁ = 1240/700 ≈ 1,77 эВ, E₂ = 1240/500 = 2,48 эВ.
- 2. Шаг 2 — кинетические энергии по уравнению Эйнштейна: Eₖ₁ = 1,77 − 1,5 = 0,27 эВ, Eₖ₂ = 2,48 − 1,5 = 0,98 эВ.
- 3. Шаг 3 — отношение: Eₖ₂ / Eₖ₁ = 0,98 / 0,27 ≈ 3,6.
- 4. Шаг 4 — и вот главный вывод, ради которого задача и решается: энергия фотона выросла всего в 1,4 раза, а энергия электрона — в 3,6 раза. Пропорциональности здесь нет, потому что из энергии фотона сначала вычитается постоянная работа выхода.
- 5. Шаг 5 — типовая ошибка: посчитать, что «энергия электронов растёт во столько же раз, во сколько энергия фотонов». Она верна только в предельном случае Aвых ≪ hν, то есть далеко за красной границей.
- 6. Шаг 6 — самопроверка на границе. Если бы работа выхода была 1,77 эВ, первый свет дал бы Eₖ₁ = 0 — фотоэффект на самой границе, и отношение потеряло бы смысл. Чем ближе к красной границе, тем резче реагирует энергия электронов на изменение цвета ✔
Ответ: Максимальная кинетическая энергия выросла примерно в 3,6 раза (с 0,27 до 0,98 эВ), тогда как энергия фотона выросла лишь в 1,4 раза.
Вопрос на проверку
Что определяет наклон графика зависимости максимальной кинетической энергии фотоэлектронов от частоты света?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.