Измерения и показания приборов

Физика — наука экспериментальная, и любое её утверждение в конце концов опирается на измерение. Поэтому первое, что нужно понять: точного измерения не бывает. Не потому, что приборы плохие, а по существу дела.

Возьмите обычную линейку с миллиметровыми делениями и измерьте карандаш. Его конец почти наверняка окажется между штрихами. Вы можете сказать «между 148 и 149 мм», но не «148,437 мм»: линейка такого не знает. Значит, у результата есть неустранимая неопределённость, и она задаётся самим прибором.

Отсюда и правило записи результата: измеренное значение всегда сопровождается погрешностью:

a = a(изм) ± Δa

Запись «длина 148 мм» неполна; полная запись — «(148 ± 1) мм», и она означает: истинное значение лежит где-то в интервале от 147 до 149 мм, а где именно — прибор сказать не может.

Два вида измерений, которые различают в задании 19.

- Прямые: величину считывают со шкалы прибора. Длину — линейкой, время — секундомером, силу тока — амперметром, температуру — термометром. - Косвенные: величину вычисляют по формуле из прямых измерений. Плотность ρ = m/V измеряют косвенно: взвесили (прямо) и нашли объём (прямо), а плотность посчитали.

Различение не формальное: у прямых измерений погрешность берут от прибора, а у косвенных её приходится пересчитывать — об этом отдельный урок.

Цена деления — величина, которая приходится на один маленький промежуток шкалы. Это первое, что делают, взяв в руки любой прибор, и первое, что проверяют в задании 19.

Алгоритм.

• • Найдите два соседних оцифрованных (подписанных) штриха.
• • Вычтите одно значение из другого.
• • Посчитайте, сколько промежутков между ними (не штрихов!).
• • Разделите разность на число промежутков.

Пример. Подписаны 0 и 1 А, между ними пять промежутков. Цена деления: (1 − 0) / 5 = 0,2 А.

Ошибка, которую делают почти все в первый раз: считают штрихи вместо промежутков. Между подписями 0 и 1 может стоять четыре штриха, но промежутков при этом пять. Проверяйте себя пальцем: промежуток — это то, что между двумя соседними штрихами.

Погрешность шкалы принимают равной половине цены деления. Если цена деления 0,2 А, то Δ = 0,1 А. Логика такая: точнее чем «ближе к этому штриху, чем к соседнему» глаз всё равно не скажет.

У цифровых приборов иначе: показание берут прямо с дисплея, а погрешность — из паспорта прибора или принимают равной единице последнего разряда. Дисплей, показывающий 3,47 В, сам заявляет о точности до сотых.

Запись результата увязывают с погрешностью. Бессмысленно писать «(148,3721 ± 1) мм»: если неопределённость составляет целый миллиметр, десятые и тысячные доли ничего не значат. Правило простое: последняя значащая цифра результата должна стоять в том же разряде, что и погрешность. Правильно — (148 ± 1) мм, (9,4 ± 0,5) м/с², (0,250 ± 0,005) А.

Экзамен показывает фотографию или рисунок шкалы и просит записать результат с погрешностью. Приборы повторяются из года в год, и полезно знать их особенности.

• • Линейка — цена деления обычно 1 мм, погрешность 0,5 мм. Нулевой штрих у многих линеек не совпадает с краем, поэтому измеряют от штриха до штриха, а не от торца.
• • Штангенциркуль — точность 0,1 мм благодаря нониусу; измеряет и наружные размеры, и внутренние (губками с обратной стороны), и глубину.
• • Микрометр — точность 0,01 мм. Винт с мелким шагом превращает крошечное продольное перемещение в заметный поворот барабана.
• • Мензурка (измерительный цилиндр) — объём жидкости; отсчёт ведут по нижнему краю мениска, глядя строго на уровне глаз, иначе получится систематическая ошибка.
• • Динамометр — сила в ньютонах, обычная цена деления 0,1 Н.
• • Амперметр включают в цепь последовательно, вольтметр — параллельно. За перепутанное включение в задании 20 снимают балл, даже если прибор выбран верный.
• • Термометр — показание снимают, не вынимая термометр из среды: иначе он начнёт остывать в руках.
• • Секундомер — цена деления обычно 0,1 или 0,2 с, но реальная погрешность больше из-за реакции человека (около 0,2 с). Поэтому измеряют не одно колебание, а десять или двадцать, и делят: так ошибка реакции размазывается по всем периодам сразу.

Последний приём — важнейший в школьной лаборатории. Измерив время 20 колебаний и поделив на 20, вы уменьшаете погрешность периода в двадцать раз, не покупая никакого нового прибора.

Погрешности не случайны в бытовом смысле «кто-то напортачил». Они имеют разную природу, и бороться с ними надо по-разному.

1. Приборная (инструментальная) погрешность. Заложена в самом приборе: цена деления, класс точности, качество изготовления. Уменьшить её можно только одним способом — взять прибор точнее. Линейка вместо штангенциркуля не станет точнее оттого, что вы измеряете аккуратнее.

2. Случайные погрешности. Разброс результатов при повторении одного и того же опыта: дрогнула рука, чуть иначе нажали секундомер, сквозняк качнул маятник. Их особенность в том, что они одинаково часто дают и завышение, и занижение. Поэтому их уменьшают повторением: измерьте пять раз и возьмите среднее арифметическое — отклонения частично погасят друг друга.

3. Систематические погрешности. Самые опасные, потому что незаметны: они смещают результат всегда в одну сторону. Примеры: весы, не выставленные на ноль; линейка со стёртым краем; отсчёт объёма в мензурке сверху вниз, а не на уровне глаз (ошибка параллакса); секундомер, который вы стабильно включаете с запозданием.

Ключевое отличие: повторение опытов от систематической ошибки не спасает. Сколько раз ни взвешивайте на сбитых весах, среднее будет смещено ровно так же. Лечится систематическая ошибка только проверкой методики: выставить ноль, проверить прибор по эталону, изменить порядок отсчёта.

Как это спрашивают. В задании 20 и в качественных вопросах просят объяснить, почему в опыте измеряют время не одного, а двадцати колебаний. Правильный ответ содержит оба звена: время реакции экспериментатора даёт случайную погрешность порядка 0,2 с, и при делении суммарного времени на 20 она уменьшается в двадцать раз.

Прямое измерение заканчивается на шкале прибора. Но большинство величин в физике получают расчётом, и тогда возникает вопрос: какова погрешность у вычисленного значения?

Удобно пользоваться относительной погрешностью — отношением абсолютной погрешности к самому значению, обычно в процентах: ε = Δa / a. Она отвечает на вопрос «насколько велика неопределённость по сравнению с самой величиной». Измерить длину комнаты с точностью 1 см — прекрасно (ε около 0,2 %); измерить с той же точностью 1 см толщину монеты — бессмысленно (ε около 500 %).

Правило для суммы и разности. Складываются абсолютные погрешности: если l = l₁ + l₂, то Δl = Δl₁ + Δl₂. То же верно и для разности — погрешности не вычитаются, а складываются. Отсюда важное практическое следствие: разность двух близких чисел измерять плохо. Если вес тела в воздухе 2,00 Н, а в воде 1,90 Н, каждая величина известна с точностью 0,05 Н, то сила Архимеда равна 0,10 Н с погрешностью 0,10 Н — то есть результат известен «с точностью до себя самого».

Правило для произведения и частного. Складываются относительные погрешности: если ρ = m / V, то ε_ρ = ε_m + ε_V. Поэтому в косвенном измерении бесполезно уточнять одну величину, если вторая измерена грубо: итоговую точность определяет худшее слагаемое.

Правило степени. Если величина входит в квадрате, её относительная погрешность удваивается: для S = a² получаем ε_S = 2ε_a. Для g = 4π²l/T² относительная погрешность равна ε_l + 2ε_T — вот почему период в опыте с маятником измеряют особенно тщательно, по нескольким десяткам колебаний.

Как округлять ответ. Погрешность округляют до одной значащей цифры, а результат — до того же разряда, что и погрешность. Запись «(1,4 ± 0,05) А» корректна, а «(1,43 ± 0,1) А» — нет: лишняя цифра обещает точность, которой нет.

Задание 19 устроено так, что физику в нём проверяют минимально, а аккуратность — максимально. Разберём требования по пунктам, потому что теряют здесь именно на них.

1. Формат записи. В условии обычно прямо сказано: «Ответ дайте в виде “значение±погрешность”». Значит, в бланк идёт одно выражение без слов: 7,5±0,25. Ни «примерно», ни «около», ни «В» внутри строки, если единица уже указана в условии.

2. Согласование разрядов. Значение и погрешность записывают до одного разряда: 1,4±0,05 — верно, 1,43±0,05 — верно, 1,4±0,046 — нет: погрешность округляют до одной значащей цифры.

3. Десятичный разделитель. В бланке ЕГЭ принята запятая, а не точка.

4. Половина деления — не всегда. Правило «погрешность равна половине цены деления» действует для шкального прибора и именно тогда, когда так сказано в условии. У цифрового прибора погрешность обычно принимают равной единице последнего разряда дисплея. Условие задания всегда уточняет, какое правило применять, — читайте эту фразу, а не действуйте по привычке.

5. Отсчёт ведут от ближайшей подписанной отметки. Считать малые штрихи от нуля через всю шкалу — способ ошибиться на одно деление. Найдите ближайшую подпись и прибавьте (или отнимите) нужное число делений.

6. Смотрите на шкалу прямо. На рисунке это не видно, но в реальном опыте взгляд под углом даёт ошибку параллакса — систематическую, то есть не устраняемую повторением измерения. У хороших приборов под стрелкой для этого сделано зеркальце: стрелку совмещают с её отражением.

7. Проверка на правдоподобие. Показание обязано лежать между соседними подписанными отметками, между которыми стоит стрелка. Если получилось иначе — ошиблись в цене деления.