Равномерное и равноускоренное движение

Формулы кинематики не надо заучивать как заклинание: все три выводятся из одного определения ускорения и одного графического факта. Разберём вывод — после него формулы перестают путаться.

Определение ускорения. Ускорение показывает, насколько быстро меняется скорость: aₓ = (vₓ − v₀ₓ) / t. Если ускорение постоянно, из этого равенства сразу получается первая формула: vₓ = v₀ₓ + aₓ·t. Читается она буквально: «к начальной скорости за каждую секунду добавляется aₓ метров в секунду». При a = 2 м/с² каждую секунду скорость растёт на 2 м/с — вот и весь смысл.

Вторая формула — из площади под графиком. График vₓ(t) при постоянном ускорении — прямая. Перемещение численно равно площади под этой прямой, а фигура получается трапецией с основаниями v₀ₓ и vₓ и высотой t. Площадь трапеции: Δx = (v₀ₓ + vₓ)·t / 2. Подставим сюда vₓ = v₀ₓ + aₓ·t и раскроем скобки: Δx = (v₀ₓ + v₀ₓ + aₓ·t)·t/2 = v₀ₓ·t + aₓ·t²/2. Добавив начальную координату, получаем уравнение движения x = x₀ + v₀ₓ·t + aₓ·t²/2.

Третья формула — если время неизвестно. Иногда время в задаче не спрашивают и не дают: «с какой скоростью врежется», «какой тормозной путь». Тогда время исключают. Из первой формулы t = (vₓ − v₀ₓ)/aₓ; подставляем во вторую и после сокращений остаётся vₓ² − v₀ₓ² = 2·aₓ·Δx. Это не новая физика, а та же самая, записанная без времени.

Полезно помнить и промежуточный результат: средняя скорость при постоянном ускорении равна полусумме начальной и конечной: v_ср = (v₀ + v)/2. Для равномерного движения формула тоже работает (там v₀ = v), а вот при переменном ускорении — уже нет.

К началу XVII века физика две тысячи лет жила с ответом Аристотеля: тяжёлое падает быстрее лёгкого, и падает «естественно», без всякого закона. Галилео Галилей решил не спорить словами, а измерить. Трудность была техническая: свободное падение слишком быстрое, а надёжных часов не существовало — маятниковые часы Гюйгенс построит только в 1656 году.

Галилей нашёл обход, который сегодня назвали бы гениальным: он замедлил падение, пустив бронзовый шар не вертикально, а по наклонному жёлобу длиной около двенадцати локтей, гладко выложенному пергаментом. Чем меньше наклон, тем медленнее движение — а закономерность, как он предположил, остаётся та же. Время он мерил водой: открывал трубку сосуда, пока шар катился, и взвешивал натёкшую воду. Масса воды пропорциональна времени — вот и часы.

Результат, опубликованный в «Беседах и математических доказательствах» 1638 года, звучал так: за равные последовательные промежутки времени шар проходит пути, относящиеся как 1 : 3 : 5 : 7, то есть как последовательные нечётные числа. А накопленный от старта путь растёт как 1 : 4 : 9 : 16 — как квадраты времени. Это и есть та самая зависимость S ~ t², которую мы теперь пишем формулой S = at²/2.

Обрати внимание, что именно здесь доказано. Галилей не измерил силу и ничего не знал про массу шара: он установил кинематический факт — при движении под постоянным действием путь пропорционален квадрату времени. Объяснение этому факту — что действует постоянная сила тяжести, а ускорение равно F/m, — придёт с Ньютоном полвека спустя. Кинематика описала, динамика объяснила.

Формулы этого урока верны при одном условии — ускорение постоянно и по модулю, и по направлению. Условие выглядит скромно, но нарушается чаще, чем кажется, и каждое нарушение ломает расчёт.

Случай первый: сила меняется. Груз на пружине: чем сильнее растянута пружина, тем больше сила, значит, больше ускорение. Постоянства нет, формулы равноускоренного движения неприменимы, и задача решается уже через колебания.

Случай второй: движение с разворотом. Тело бросили вверх, оно поднялось, остановилось и пошло вниз. Здесь ускорение как раз постоянно (g вниз), и формулы работают на всём пути — но только если не менять ось посреди решения и помнить, что путь и модуль перемещения разойдутся. А вот при торможении автомобиля до остановки формулы работают лишь до момента остановки: дальше машина стоит, а формально подставленное время даст «разгон назад».

Случай третий: скачок ускорения. Разгон, потом равномерное движение, потом торможение. Это три разных участка, на каждом свои a и своё v₀. Считать их одной формулой нельзя — нужно разбить движение на этапы и стыковать их по конечной скорости предыдущего.

Именно поэтому в разборе задачи первым шагом всегда идёт вопрос: сколько здесь участков и постоянно ли на каждом ускорение. Ответив на него, половину решения уже сделал.

Формулы простые, ошибки почти всегда в знаках. Лечится это одним дисциплинированным действием: сначала нарисовать ось, потом подставлять.

Порядок такой. Первое — выбрать направление оси X. Выбор произволен, но, сделав его, менять нельзя. Второе — записать проекции: величина, направленная по оси, входит со знаком плюс, против оси — со знаком минус. Третье — подставлять в формулы именно проекции, со знаками, а не модули.

Как это выглядит на практике. Автомобиль едет вправо со скоростью 20 м/с и тормозит с ускорением 5 м/с². Направим ось вправо: тогда v₀ₓ = +20 м/с, а ускорение направлено влево (торможение — это когда ускорение против скорости), значит aₓ = −5 м/с². Формула сама всё сделает: скорость будет убывать. Если бы мы подставили aₓ = +5, машина бы у нас разгонялась.

Мнемоника, которая почти никогда не подводит: скорость и ускорение сонаправлены — тело разгоняется; направлены противоположно — тормозит. Знак самой скорости при этом ни о чём, кроме направления движения, не говорит: тело со скоростью −30 м/с движется быстро, просто влево.

Ученики часто считают, что ось «дана условием». Это не так: направление оси выбирает решающий, и от выбора зависит только знаки, но не ответ. Пользоваться этим правом нужно сознательно.

Правило простое: направь ось туда, куда тело движется в начале. Тогда v₀ₓ получится положительной, и в формулах останется минимум минусов. При падении тела вниз — направь ось вниз, и тогда aₓ = +g, а не −g. При броске вверх — направь ось вверх, тогда aₓ = −g, но зато v₀ₓ = +v₀.

Есть одна дисциплина, которую нарушать нельзя: выбрал ось — держись её до конца задачи. Самая частая ошибка на ЕГЭ выглядит так: ученик направил ось вверх, записал высоту подъёма с плюсом, а потом «для удобства» подставил g со знаком плюс. Получается, что ускорение тянет тело вверх, и ответ разлетается.

Вторая дисциплина — подписывать нуль оси. Координата тела зависит от того, где начало отсчёта: камень, брошенный с балкона высотой 15 м, при оси, направленной вверх от земли, в момент броска имеет x₀ = 15 м, а при оси, направленной вниз от балкона, x₀ = 0. Обе записи верны; смертельна только смесь.

Проверить себя можно на любом промежуточном результате. Если получилось, что тело, брошенное вверх, через секунду оказалось ниже точки броска на два метра, — значит, где-то минус потерялся.

Галилей не имел точных часов и не мог измерить время свободного падения — оно слишком мало. Он пошёл в обход: скатывал бронзовый шар по длинному наклонному жёлобу, отполированному пергаментом, и мерил время водяными часами, взвешивая вытекшую воду. Наклон он делал малым, чтобы движение было медленным и измеримым, и позже писал, что повторял опыт «целую сотню раз».

Результат оказался поразительно простым. Если шар стартует из покоя, то за первую секунду он проходит некоторый отрезок, за вторую — втрое больше, за третью — впятеро больше. Отношение путей по секундам: 1 : 3 : 5 : 7 : 9 …, то есть ряд нечётных чисел. А общий путь от старта относится как 1 : 4 : 9 : 16, то есть как квадраты времени.

Проверим это формулой. Из покоя S(t) = a·t²/2. За первую секунду S₁ = a/2. За две секунды S(2) = 2a, значит за вторую секунду прошло 2a − a/2 = 3a/2 — ровно втрое больше первой. За три секунды S(3) = 4,5a, за третью секунду 4,5a − 2a = 2,5a — впятеро больше первой. Ряд нечётных чисел получается сам собой.

Это и есть настоящий смысл равноускоренного движения: не «тело едет быстро», а за равные промежутки времени тело проходит неравные, линейно растущие отрезки. Именно этим оно отличается от равномерного, где отрезки одинаковы.

В задачах на торможение почти всегда считают только тормозной путь — тот, что машина проезжает с момента нажатия педали: S = v²/(2a). Но реальная и экзаменационная «жизненная» задача складывается из двух частей.

Сначала водитель видит препятствие. Пока сигнал доходит до мозга, мозг принимает решение, нога переносится на педаль, а тормозная система создаёт давление, проходит время реакции — для здорового внимательного водителя около 1 с, при усталости или отвлечении на телефон вдвое-втрое больше. В течение этой секунды автомобиль движется равномерно: ускорения ещё нет. Значит, путь реакции считается по формуле равномерного движения: S₁ = v·t_{реакции}, и растёт он линейно со скоростью.

Потом начинается торможение с постоянным ускорением, и путь S₂ = v²/(2a) растёт квадратично.

Остановочный путь — сумма: S = v·t_р + v²/(2a). Из неё видно нечто важное и для физики, и для жизни: на малых скоростях главный вклад даёт реакция, на больших — квадратичное слагаемое, и оно очень быстро становится главным. Удвоив скорость, ты удваиваешь путь реакции и учетверяешь тормозной.

При разборе задания следи за формулировкой. «Тормозной путь» — только второе слагаемое. «Остановочный путь», «расстояние от момента, когда водитель заметил» — оба. Подмена одного другим — типовая потеря балла.

Равноускоренное движение — не отдельная тема, а рабочий инструмент почти всей механики.

Вниз по курсу из него вырастает свободное падение: там ускорение уже задано природой, a = g, и все формулы этого урока переписываются буквально, с заменой a на g. Бросок под углом — это два движения сразу: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали.

Вверх по курсу оно смыкается с динамикой. Кинематика отвечает на вопрос «как движется», динамика — «почему». Второй закон Ньютона a = F/m даёт ускорение, а дальше работают формулы этого урока. Поэтому задача «найти тормозной путь по коэффициенту трения» решается в два хода: сначала a = μg из динамики, потом Δx = v₀²/(2a) отсюда.

В сторону оно связано с энергией. Формула v² − v₀² = 2aΔx после умножения на m/2 превращается в теорему о кинетической энергии: mv²/2 − mv₀²/2 = F·Δx. Это буквально одна и та же формула, записанная на двух языках.

Самая частая форма задания — движение из нескольких кусков: разогнался, ехал ровно, затормозил. Ошибка новичка — попытаться описать всё одной формулой. Правильный порядок такой.

Шаг первый: нарисуй ось и раздели движение на участки. Границы участков — это моменты, где меняется ускорение: начало торможения, конец разгона, момент остановки. На каждом участке своё a, своя v₀ и своё t.

Шаг второй: выпиши, что связывает участки. Связок обычно две. Скорость непрерывна: конечная скорость предыдущего участка равна начальной следующего — тело не может мгновенно сменить скорость. И путь складывается: общий путь есть сумма путей по участкам.

Шаг третий: посчитай каждый участок отдельно и только потом складывай. Промежуточные скорости выписывай явно, с единицами: именно на них ловятся арифметические ошибки.

Шаг четвёртый: проверь ответ здравым смыслом. Средняя скорость всего движения обязана лежать между минимальной и максимальной мгновенной. Если поезд разгонялся до 30 м/с, потом тормозил до нуля, а средняя вышла 40 м/с — ошибка точно есть, искать её надо, не дописывая решение.

И отдельное предупреждение про последнюю секунду. Вопрос «какой путь тело прошло за третью секунду» означает разность: путь за три секунды минус путь за две. Подставлять t = 1 нельзя: третья секунда начинается не с нулевой скорости. Правильно: S = S(3) − S(2).