Законы Ньютона и силы

До Ньютона считалось, что движение нужно поддерживать: перестал толкать телегу — она остановилась, значит движение требует постоянного усилия. Повседневный опыт это подтверждает на каждом шагу, и именно поэтому две тысячи лет никто не сомневался в Аристотеле.

Прорыв состоял в том, чтобы увидеть в трении не «естественный порядок вещей», а отдельную силу. Убери трение — и телега поедет сама, без всякого усилия. Ньютон сформулировал это в «Математических началах натуральной философии» (1687) так: всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку приложенные силы не заставят его изменить это состояние.

Три закона Ньютона отвечают на три разных вопроса, и путать их роли не стоит. Первый отвечает на вопрос «а бывает ли вообще такая система отсчёта, где механика проста?» — да, бывает, она называется инерциальной. Второй отвечает «насколько изменится движение» — количественно, формулой. Третий отвечает «а что при этом происходит с тем, кто толкал» — силы всегда возникают парами.

Сам Ньютон о своём месте в науке писал Роберту Гуку в 1676 году: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов». Гиганты — это Галилей, Кеплер, Декарт, Гюйгенс: каждый из них подготовил свой кусок.

Две тысячи лет физика жила с представлением Аристотеля: чтобы тело двигалось, нужна причина, и как только причина исчезает, движение прекращается. Это согласуется со всем, что видит глаз: перестал толкать тележку — она остановилась; перестал грести — лодка встала.

Галилей заметил то, чего не замечали до него: тележка останавливается не сама, а из-за трения. И поставил мысленный эксперимент с наклонными плоскостями. Шар, скатившийся с одной горки, поднимается на другую почти на ту же высоту. Сделаем вторую горку положе — шар прокатится дальше, но поднимется на ту же высоту. Ещё положе — ещё дальше. А если вторую горку сделать горизонтальной, шар не поднимется никогда и, значит, будет катиться бесконечно.

Отсюда вывод, перевернувший механику: естественное состояние тела — не покой, а равномерное прямолинейное движение. Покой — частный случай такого движения со скоростью нуль. Сила нужна не для поддержания движения, а для его изменения.

Ньютон возвёл этот вывод в закон и добавил к нему то, чего не хватало Галилею, — оговорку о системе отсчёта. Первый закон звучит так: существуют системы отсчёта, в которых тело, не подверженное действию других тел, сохраняет скорость неизменной. Такие системы и называются инерциальными. Формулировка «тело сохраняет скорость, если на него не действуют силы» без этой оговорки просто неверна: в тормозящем автобусе пассажиры валятся вперёд без всякой приложенной к ним силы.

Практически это значит вот что: все три закона Ньютона верны только в инерциальных системах. Земля строго говоря неинерциальна — она вращается, — но для школьных задач отклонение настолько мало, что им пренебрегают. Оговаривать это в задании 26 не обязательно; а вот сказать «рассматриваем движение в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй» — правильно и оценивается.

Слово «масса» в физике употребляется в двух совершенно разных смыслах, и то, что это одно и то же число, — не определение, а экспериментальный факт, один из самых глубоких в физике.

Инертная масса — мера того, насколько трудно изменить скорость тела. Она входит во второй закон Ньютона: a = F/m. Чем больше m, тем меньше ускорение при той же силе. Измерить её можно вообще без всякого тяготения — например, в невесомости, раскачивая тело на пружине.

Гравитационная масса — мера того, насколько сильно тело притягивается другими телами. Она входит в закон всемирного тяготения: F = Gm₁m₂/R². Это, по сути, «гравитационный заряд», аналог электрического заряда в законе Кулона.

Логически ничто не заставляет их совпадать. Электрический заряд и инертная масса, например, не совпадают вовсе: у электрона и протона заряды равны по модулю, а массы различаются почти в две тысячи раз. Но у тяготения совпадение есть, и именно из него следует, что все тела падают с одинаковым ускорением: в формуле a = Gm_грав·M/(m_инерт·R²) массы сокращаются только при их равенстве.

Проверяли это с растущей точностью. Ньютон ставил опыты с маятниками из разных веществ. Венгерский физик Лоранд Этвёш в конце XIX века с помощью крутильных весов подтвердил равенство с точностью до одной стомиллионной. Современные эксперименты довели точность до квадриллионных долей — расхождения по-прежнему нет.

Именно этот факт Эйнштейн взял за основу общей теории относительности: если тяготение действует на все тела одинаково, его можно описывать не как силу, а как искривление пространства-времени. Так школьная фраза «все тела падают одинаково» оказывается фундаментом целой теории.

И ещё одно, чисто практическое. Плотность ρ = m/V — это не «тяжесть вещества», а масса единицы объёма. В задачах она чаще всего нужна, чтобы перейти от размеров тела к его массе: m = ρV. Держи в голове несколько опорных значений: вода 1000 кг/м³, лёд около 900, алюминий 2700, железо 7800, свинец 11 300.

Второй закон Ньютона обычно пишут как F = m·a, но физический смысл лучше виден в форме a = F/m: слева причина-следствие, справа — кто за что отвечает.

Ускорение пропорционально силе. Приложил вдвое большую силу — получил вдвое большее ускорение. Заметь: сила даёт не скорость, а именно изменение скорости. Тело может лететь очень быстро при нулевой равнодействующей — и тогда оно летит равномерно.

Ускорение обратно пропорционально массе. Масса — мера инертности, мера «неохоты» менять скорость. Одна и та же сила разгонит тележку в десять раз легче в десять раз быстрее.

Ускорение направлено туда же, куда равнодействующая. Не туда, куда движется тело! Брошенный вверх камень летит вверх, а ускорение у него вниз. Это два разных вектора, и путать их — источник половины ошибок в динамике.

Ключевое слово в законе — равнодействующая. Если сил несколько, их сначала складывают как векторы, и только сумма определяет ускорение. Поэтому стандартный порядок решения любой задачи динамики такой: нарисовать тело точкой, изобразить все действующие на него силы, выбрать оси, записать проекции сил и составить уравнения ΣFₓ = maₓ и ΣFᵧ = maᵧ.

Второй закон записан для одной силы, а в задаче их всегда несколько. Спасает принцип суперпозиции: действие нескольких сил равносильно действию одной, равной их векторной сумме. Именно эта сумма и называется равнодействующей, и именно она стоит в формуле ma = F.

Важно, что суперпозиция — не очевидность, а утверждение о природе. Оно означает, что силы не мешают друг другу: присутствие силы тяжести не меняет величину силы натяжения нити, а трение не зависит от того, тянут ли тело вбок. В школьной механике это выполняется точно.

Отсюда вырастает алгоритм решения любой задачи динамики. Он один и тот же для наклонной плоскости, лифта, блока, поворота и мёртвой петли.

Шаг 1. Выдели тело. Ровно одно. Если тел несколько — будет несколько отдельных рисунков и несколько уравнений.

Шаг 2. Нарисуй все силы, действующие на это тело. Правило проверки: у каждой силы должен быть автор — другое тело, которое её создаёт. Земля создаёт mg, опора — N, нить — T, поверхность — трение, пружина — упругость. Если для стрелки автора нет, стрелку надо стереть. Так отсеиваются мифические «сила движения», «сила инерции» и «центробежная сила».

Шаг 3. Выбери оси. Одну ось направь вдоль ускорения — тогда по ней будет стоять ma, а по второй нуль. На наклонной плоскости это ось вдоль склона, при движении по окружности — ось к центру.

Шаг 4. Спроецируй каждую силу на каждую ось и запиши второй закон покомпонентно: сумма проекций равна ma по «рабочей» оси и нулю по перпендикулярной.

Шаг 5. Реши систему и проверь ответ предельными случаями: при нулевом угле, нулевом трении, бесконечной массе результат должен превращаться в очевидный.

Этот алгоритм стоит выучить наизусть как последовательность действий. На экзамене он экономит не столько время, сколько нервы: пока не знаешь, что делать, — делай шаг 1.

Знаменитый софизм: лошадь тянет телегу с силой F, телега по третьему закону тянет лошадь с такой же силой F в обратную сторону, силы равны — значит, телега не сдвинется. Где ошибка?

Ошибка в том, что эти две силы приложены к разным телам, а складывать для второго закона Ньютона можно только силы, действующие на одно тело. Сила «лошадь на телегу» входит в уравнение телеги. Сила «телега на лошадь» входит в уравнение лошади. Они никогда не встречаются в одной сумме и потому не уравновешивают друг друга.

Телега поедет, если сила тяги лошади больше силы трения телеги о дорогу. А лошадь сдвинется с места, если сила трения её копыт о землю больше, чем тяга телеги назад. Именно поэтому лошадь на льду телегу не сдвинет: не хватит трения, хотя третий закон работает так же исправно.

Три признака пары третьего закона, по которым её узнают: силы равны по модулю, противоположны по направлению, приложены к разным телам и имеют одну природу (обе гравитационные, обе упругие, обе трения). Если хотя бы один признак нарушен — это не пара третьего закона.

Проверь себя на классике: брусок лежит на столе. Сила тяжести mg на брусок и реакция опоры N на брусок не являются парой третьего закона — они приложены к одному телу и имеют разную природу. Пара к mg — притяжение Земли бруском (приложено к Земле). Пара к N — давление бруска на стол (приложено к столу).

Законы Ньютона — не абсолютная истина, а очень хорошее приближение в определённой области. Знать эту область полезно и для понимания, и для задания 26, где обоснование модели оценивается отдельным баллом.

Граница первая: скорость. При скоростях, сравнимых со скоростью света, второй закон в форме a = F/m перестаёт работать: масса перестаёт быть постоянным коэффициентом. Более общая форма, которую записывал сам Ньютон, — через импульс: сила равна скорости изменения импульса, F = Δp/Δt. Эта запись остаётся верной и в теории относительности, если импульс определить правильно. Для школьных задач разница проявляется только у частиц в ускорителях.

Граница вторая: размер. В мире атомов и электронов понятие траектории теряет смысл: у частицы нельзя одновременно точно указать положение и импульс. Там работает квантовая механика, а не законы Ньютона. Именно поэтому в теме про строение атома не спрашивают «по какой траектории летит электрон» — такого вопроса нет.

Граница третья: система отсчёта. Как уже сказано, законы записаны для инерциальных систем. Во вращающейся системе или в разгоняющемся автомобиле они нарушаются, и чтобы пользоваться привычными формулами, вводят силы инерции — удобный приём, но именно приём, а не силу от какого-то тела.

Граница четвёртая: сильные поля тяготения. Вблизи очень массивных объектов тяготение перестаёт описываться формулой Ньютона; там нужна общая теория относительности. Практический след этого есть и в быту: спутники GPS учитывают релятивистские поправки, без которых координата уплывала бы на километры в сутки.

Во всех школьных задачах эти границы не достигаются — и это стоит проговаривать словами, а не молча подразумевать.

Наклонная плоскость встречается в динамике постоянно, и почти вся сложность в одном шаге — правильном выборе осей.

Оси берут вдоль и поперёк наклонной плоскости, а не горизонтально и вертикально. Причина простая: тело движется вдоль плоскости, значит поперёк ускорение равно нулю, и одно из двух уравнений сразу станет простым. Если взять «обычные» оси, придётся раскладывать и N, и трение, и ускорение — работы втрое больше.

При таком выборе раскладывать приходится только силу тяжести. Вдоль плоскости идёт составляющая mg·sin α (она и тянет тело вниз по склону), поперёк — mg·cos α (её уравновешивает реакция опоры). Запомнить, где синус, а где косинус, помогает крайний случай: при α = 0 (плоскость горизонтальна) скатывающая составляющая обязана быть нулевой — и sin 0 = 0, всё верно. При α = 90° (плоскость вертикальна) реакция опоры обязана исчезнуть — и cos 90° = 0, снова верно.

Отсюда два рабочих результата. Без трения: a = g·sin α. С трением: a = g·(sin α − μ·cos α) при скольжении вниз. Условие, при котором тело вообще не поедет: tg α ≤ μ. Угол, при котором начинается скольжение, называют углом трения, и через него удобно измерять коэффициент трения на опыте: положил брусок на доску, поднимаешь край, засёк угол срыва — получил μ = tg α.