Система отсчёта, путь и перемещение

Представь: ты сидишь в вагоне поезда и читаешь книгу. Движешься ты или покоишься? Ответить нельзя, пока не сказано, относительно чего. Относительно столика перед тобой — покоишься: расстояние до него не меняется. Относительно рельсов — мчишься со скоростью 80 км/ч. Относительно Солнца — летишь вместе со всей Землёй примерно 30 км/с. Все три ответа верны одновременно, и ни один не «правильнее» остальных.

Отсюда главное правило кинематики: вопрос «с какой скоростью движется тело» без указания системы отсчёта не имеет ответа. В школьных задачах систему отсчёта обычно не называют вслух — её подразумевают: «скорость автомобиля 20 м/с» значит «относительно дороги». Но как только в задаче появляется второе движущееся тело (эскалатор, река, поезд, платформа), молчаливую договорённость нужно проговорить, иначе ответ будет случайным.

Само слово «система» здесь буквальное: это не одна вещь, а комплект из трёх частей. Тело отсчёта — то, относительно чего смотрим (дорога, вагон, берег). Система координат — линейка, привязанная к телу отсчёта: где нуль, куда смотрит положительное направление оси. Часы — то, чем меряем время, и момент, который считаем нулевым. Убери любую из трёх частей — и описать движение не получится: без координат нельзя сказать «где», без часов — «когда», без тела отсчёта — «относительно чего».

Физика пришла к этому не сразу. До Галилея господствовало представление Аристотеля: покой — естественное состояние тела, движение требует причины. Галилей перевернул логику: он показал, что равномерное прямолинейное движение и покой физически неразличимы, и различает их только выбор наблюдателя.

Механику делят на две части, и путать их — значит терять время на экзамене. Кинематика описывает движение: где тело было, где стало, как быстро и с каким ускорением. Она не спрашивает, кто толкал тело и почему оно поехало. Динамика занимается именно причинами: силами, массами, законами Ньютона.

Почему такой порядок? Потому что прежде, чем обсуждать причину, надо уметь точно описать следствие. Пока нет слов «перемещение», «скорость», «ускорение», нельзя даже сформулировать второй закон Ньютона: в нём стоит ускорение, а значит, кинематика обязана появиться раньше. Так исторически и вышло: Галилей в начале XVII века научился измерять и описывать падение тел, и только через полвека Ньютон объяснил его через силу тяготения.

Практический вывод для решения задач. Если в условии нет ни одной силы и ни одной массы — задача чисто кинематическая, и лезть в законы Ньютона незачем: всё решается формулами этого модуля. Если же масса или сила названа, кинематика всё равно понадобится, но уже как второй шаг: сначала найдёшь ускорение из динамики, потом подставишь его в кинематические формулы. Эта связка — самая частая схема решения задач второй части.

Кодификатор ЕГЭ формулирует положение материальной точки не через три отдельных числа, а через радиус-вектор r(t) — стрелку из начала координат в то место, где тело находится в момент t. Его проекции на оси и есть привычные координаты: r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Зачем лишняя сущность, если можно писать три координаты? Ради краткости и ради того, чтобы формулы не зависели от выбора осей. Перемещение через радиус-вектор записывается одной строкой: Δr = r(t₂) − r(t₁) — «стрелка в конец минус стрелка в начало». Это и есть определение перемещения, из которого механически следует всё остальное: при движении по прямой в одну сторону разность стрелок совпадает по длине с путём, при возврате в исходную точку разность обращается в нуль.

В школьных задачах движение почти всегда одномерное или плоское, поэтому вместо радиус-вектора обычно пишут проекцию: Δx = x − x₀. Но помнить надо именно векторное определение, потому что из него видно, откуда берутся знаки. Проекция перемещения отрицательна не потому, что «тело как-то не так поехало», а потому, что стрелка направлена против оси. Ось выбираем мы сами — и вправе выбрать так, чтобы знаков-минусов было поменьше.

В «Диалоге о двух главнейших системах мира» (1632) Галилей предлагает читателю запереться с друзьями в каюте под палубой большого корабля, взять туда мух, бабочек, аквариум с рыбками и подвесить сосуд, из которого капля за каплей капает вода в подставленную снизу посудину. Пока корабль стоит, всё ведёт себя привычно: капли падают точно в посудину, мухи летают во все стороны одинаково, прыжок вперёд и назад даётся одинаковым усилием. А теперь, говорит Галилей, пусть корабль поплывёт равномерно и без качки. Вывод, к которому он ведёт: ни малейшего изменения не обнаружится ни в одном из этих явлений, и по ним нельзя будет узнать, движется корабль или стоит.

Это рассуждение — не литературный приём, а физический закон, который мы сегодня называем принципом относительности Галилея: во всех системах отсчёта, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, механические явления протекают одинаково. Именно поэтому в самолёте на крейсерской скорости 900 км/ч можно спокойно налить чай: относительно салона чайник и чашка покоятся.

Заметь границу: Галилей специально оговаривает «без качки» и «равномерно». Как только корабль начнёт разгоняться, тормозить или поворачивать, опыт сразу выдаст движение — вода в стакане качнётся, тело прижмёт к спинке кресла. Система отсчёта, в которой такого постороннего ускорения нет, называется инерциальной (ИСО); разгоняющийся вагон — неинерциальная. Все формулы этого модуля написаны для ИСО.

Правило короткое: путь равен модулю перемещения только при движении по прямой в одну сторону, без разворотов. Любой разворот, любая кривая — и путь становится больше.

Разберём на цифрах. Человек прошёл 30 м на восток, затем 40 м на север. Путь равен сумме отрезков: S = 30 + 40 = 70 м. Перемещение — вектор из старта в финиш, его модуль ищем по теореме Пифагора: |Δr| = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 м. Разница в 20 м — это то, что «съела» смена направления.

Крайний случай — замкнутый маршрут. Спортсмен пробежал круг по стадиону длиной 400 м и остановился там, где стартовал. Путь 400 м, перемещение ровно ноль. Средняя путевая скорость при этом отличается от нуля, а средняя скорость перемещения равна нулю: это две разные величины, и на экзамене их различие проверяют прицельно.

Есть и практическая проверка себя: модуль перемещения физически не может быть больше пути. Если в решении вышло наоборот, ошибка уже сделана, и искать её надо, не доводя задачу до конца.

Средняя скорость считается просто: весь путь делим на всё время. Но спидометр показывает не её. Он показывает мгновенную скорость — ту, что «прямо сейчас». И здесь прячется логическая ловушка, над которой билась математика два тысячелетия: чтобы поделить путь на время, нужен промежуток времени, а «момент» — это промежуток нулевой длины, делить на нуль нельзя.

Выход нашли Ньютон и Лейбниц в конце XVII века, и он такой. Берём промежуток Δt после интересующего нас момента и считаем среднюю скорость на нём. Потом берём промежуток вдвое короче — получаем другое число. Ещё короче — ещё одно. Оказывается, эти числа не мечутся, а сходятся к одному значению. Его и называют мгновенной скоростью: v = lim(Δr/Δt) при Δt → 0, то есть производная радиус-вектора по времени.

На графике координаты это видно глазами. Средняя скорость — наклон секущей, соединяющей две точки графика. Стягиваем правый конец секущей к левому — секущая поворачивается и в пределе ложится на касательную. Наклон касательной и есть мгновенная скорость. Отсюда важное для ЕГЭ следствие: чтобы найти скорость по графику x(t) в момент t₀, нужно приложить линейку к графику именно в этой точке, а не соединять концы всего графика.

И ещё один вывод, который экономит время на экзамене: вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории. Не «вперёд по дороге», не «к центру», а строго по касательной. Поэтому камень, сорвавшийся с раскрученной пращи, летит не к центру и не от центра, а по касательной к окружности.

Если тело движется относительно среды, а среда — относительно земли, скорости складываются как векторы: v(тела относительно земли) = v(тела относительно среды) + v(среды относительно земли). Это классический закон сложения скоростей Галилея.

Ключевое слово — «как векторы». Складывать их как числа можно только тогда, когда они лежат на одной прямой: по течению скорости складываем, против течения вычитаем. Если направления перпендикулярны — работает теорема Пифагора. Если под произвольным углом — теорема косинусов.

Типичная ошибка на экзамене: в задаче про эскалатор или движущуюся дорожку ученик складывает время, а не скорости. Время складывать нельзя: оно не аддитивно по этому правилу. Складывают скорости, а время получают делением.

Правило простое: скорость тела относительно неподвижной системы равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы. Пассажир идёт по вагону со скоростью 1 м/с, вагон едет со скоростью 20 м/с — относительно насыпи пассажир движется со скоростью 21 м/с, если идёт по ходу поезда, и 19 м/с, если против.

Звучит как очевидность, и две с лишним сотни лет так и считали. Но у этого правила есть граница, и на ней в 1887 году споткнулся опыт Альберта Майкельсона и Эдварда Морли. Они рассуждали так: Земля летит вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с, значит, свет, идущий вдоль движения Земли и поперёк него, по классическому правилу должен приходить с разной скоростью. Прибор — интерферометр — был способен уловить разницу гораздо меньшую, чем ожидаемая. Разницы не оказалось никакой.

Отсюда выросла специальная теория относительности: классический закон сложения скоростей — не точный закон природы, а хорошее приближение для случая, когда скорости много меньше скорости света c ≈ 3·10⁸ м/с. При обычных, «земных» скоростях поправка неизмеримо мала: у самолёта она проявляется в пятнадцатом знаке. Поэтому в ЕГЭ по физике складывать скорости векторно — правильно и достаточно. Но знать, где кончается область применимости формулы, обязан любой, кто занимается физикой всерьёз: у каждого закона в этом курсе есть такая граница, и мы будем отмечать её каждый раз.

Первое задание ЕГЭ по физике стоит 1 первичный балл и есть в каждом варианте. Чаще всего это график или уравнение движения. Порядок действий, который экономит время и спасает от глупых потерь:

Шаг 1. Прочитать подписи осей. Половина ошибок рождается здесь: график x(t) читают как v(t). Наклонная прямая на графике координаты означает равномерное движение, а на графике скорости — равноускоренное. Это разные вещи, а картинка почти одинаковая.

Шаг 2. Понять, что спрашивают: модуль или проекцию. Если в вопросе слово «проекция», ответ может быть отрицательным, и минус обязателен. Если спрашивают модуль скорости или путь — ответ неотрицателен.

Шаг 3. Проверить единицы. В ответ просят «в м/с» или «в метрах», а на графике может быть километр и час. Перевод делают до подстановки, а не после.

Шаг 4. Оценить ответ на здравый смысл. Скорость пешехода 200 м/с и ускорение автомобиля 500 м/с² — сигнал, что где-то потеряна или лишняя десятка.

Шаг 5. Записать ответ в том виде, какой просят. Целое число — без запятой и единиц; в бланк единицы измерения не пишут.

Любая физическая формула должна быть верна не только числами, но и единицами. Это даёт мощный приём самопроверки, который не требует ни калькулятора, ни знания ответа.

Правило: подставь в формулу вместо величин их единицы и посмотри, сходится ли результат с единицей искомой величины. Скорость обязана получиться в метрах на секунду. Если в ходе решения получилось v = a·t², то м/с² · с² = м — вышли метры, а не метры в секунду, значит, формула переврана, и искать опечатку нужно именно здесь, а не в арифметике.

Второе правило того же рода: складывать можно только одноимённые величины. Выражение «путь плюс скорость» бессмысленно так же, как «два яблока плюс три секунды». Поэтому запись вроде S = v₀ + at²/2 сразу видна как ошибочная, даже если не помнить правильную формулу: слева метры, справа метры в секунду плюс метры.

Третье правило — про аргументы функций. Под синусом, косинусом, логарифмом и экспонентой может стоять только безразмерная величина: угол в радианах, отношение двух длин, отношение двух времён. Если под синусом оказались метры — ошибка гарантирована.

Привыкни делать эту проверку молча, в уме, на каждой выведенной формуле. На экзамене она занимает пять секунд и не раз спасала первичный балл.