Электрический заряд и закон Кулона. Задание 11

Электрический заряд — это физическая величина, характеризующая способность тела участвовать в электромагнитном взаимодействии. Определить её «через что-то более простое» нельзя: заряд, как масса и время, относится к первичным понятиям. Зато можно точно перечислить его свойства, и все они проверены опытом.

Зарядов два сорта. Их назвали положительным и отрицательным (термины ввёл Бенджамин Франклин). Одноимённые отталкиваются, разноимённые притягиваются — этим электричество принципиально отличается от тяготения, где притяжение всегда.

Заряд дискретен. Он существует только порциями, кратными элементарному заряду e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Это заряд электрона (со знаком минус) и протона (со знаком плюс). Заряда в полтора электрона не бывает, поэтому всякий заряд q = ±N·e, где N — целое. Измерил это в 1909 году Роберт Милликен в опыте с масляными каплями: он уравновешивал заряженную каплю электрическим полем и обнаружил, что её заряд всегда кратен одной и той же величине.

Заряд сохраняется. В замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов постоянна. Заряды нельзя создать из ничего — их можно только разделить или перераспределить. Потерев эбонит о шерсть, мы не «произвели» заряд: часть электронов перешла с шерсти на эбонит, и теперь один заряжен отрицательно, а другая ровно на столько же положительно.

Заряд относится к телу, а не к веществу. Одно и то же тело может быть заряжено по-разному. Соприкосновение двух одинаковых проводящих шаров делит суммарный заряд поровну — это ключ к целому классу задач.

Само слово «электричество» происходит от греческого ἤλεκτρον — «янтарь». Ещё Фалес Милетский в VI веке до н. э. знал, что потёртый шерстью янтарь притягивает соломинки. Две тысячи лет это оставалось единственным известным фактом.

В 1600 году английский врач Уильям Гильберт показал, что таким свойством обладает не только янтарь, и ввёл сам термин. В XVIII веке француз Шарль Дюфе обнаружил главное: электричества два рода. Два потёртых стеклянных стержня отталкиваются; стеклянный и янтарный — притягиваются. Значит, есть два разных состояния, а не разная степень одного.

Бенджамин Франклин в 1747 году предложил называть эти состояния «положительным» и «отрицательным» и сформулировал ключевую идею: при электризации заряд не создаётся, а перераспределяется. Сколько его убыло у одного тела, столько прибыло у другого. Это и есть закон сохранения электрического заряда, и он остаётся в силе до сих пор — включая ядерные превращения.

Ироничен один исторический факт. Франклин выбрал, какое электричество называть положительным, наугад — он назначил стеклу плюс. Через полтора века выяснилось, что носителями заряда в металлах и при трении служат электроны, и они, по франклиновскому соглашению, оказались отрицательными. Поэтому в проводах электроны движутся против направления тока, которое по традиции считают от плюса к минусу. Менять соглашение уже не стали: слишком много формул пришлось бы переписывать.

С современной точки зрения картина простая. Атом нейтрален: положительный заряд ядра уравновешен электронами. Электризация трением — это переход части электронов с одного тела на другое, а вовсе не «рождение электричества». Тело, потерявшее электроны, заряжено положительно; получившее — отрицательно. Заряды при этом равны по модулю, и в этом можно убедиться опытом: если потереть стекло о шёлк и поднести оба к электроскопу, показания окажутся одинаковыми.

К 1780-м годам о существовании электрических сил знали все, а измерить их не мог никто. Догадки о законе обратных квадратов высказывали и Пристли (по аналогии с тяготением), и Кавендиш — но доказательства не было.

Шарль Огюстен Кулон, французский военный инженер, в 1785 году применил приём, который он до этого отрабатывал на исследовании кручения нитей: крутильные весы. На тончайшей серебряной нити подвешено лёгкое коромысло с шариком на одном конце и противовесом на другом. Рядом закреплён второй шарик. Заряженные шарики отталкиваются, коромысло поворачивается, нить закручивается — и угол поворота прямо пропорционален силе. Устройство позволило измерять силы в миллионные доли ньютона.

Дальше нужно было менять заряд известным образом, а никакого «заряжометра» не существовало. Кулон нашёл элегантное решение: он касался заряженного шарика точно таким же незаряженным. По симметрии заряд делился ровно пополам. Повторяя касание, он получал четверть, восьмую и так далее — и мог проверить, как зависит сила от заряда, не зная его абсолютной величины.

Результат: F = k·q₁q₂/r². Сила пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния, а направлена вдоль соединяющей их прямой.

Обрати внимание на условия, при которых закон верен, — их спрашивают.

Заряды должны быть точечными, то есть их размеры много меньше расстояния между ними. Для двух соприкасающихся шаров закон не работает: заряды перераспределяются по поверхности, и «расстояние между зарядами» перестаёт быть определённым.

Заряды должны покоиться друг относительно друга. Для движущихся зарядов добавляется магнитное взаимодействие, и картина усложняется.

Среда учитывается диэлектрической проницаемостью: в среде сила ослабевает в ε раз. Для воды ε ≈ 81, и именно поэтому соли в воде так легко распадаются на ионы.

И последнее — про масштаб. Коэффициент k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл² огромен, в отличие от гравитационной постоянной. Электрическое отталкивание двух электронов сильнее их гравитационного притяжения примерно в 10⁴² раз. Именно поэтому в масштабах атомов тяготением полностью пренебрегают, а в масштабах планет — наоборот: крупные тела электрически нейтральны, и электрические силы взаимно гасятся.

Закон Кулона не говорит ничего о том, бывает ли заряд сколь угодно малым. Долгое время электричество представляли себе как непрерывную «жидкость»: заряд можно делить пополам бесконечно.

Проверил это американец Роберт Милликен в опытах, начатых в 1909 году. Идея такова. В пространство между горизонтальными пластинами конденсатора распыляют мельчайшие капельки масла. При распылении они электризуются трением, получая небольшой заряд. Капля падает под действием тяжести; включив напряжение, можно создать электрическую силу, направленную вверх.

Подбирая напряжение так, чтобы капля зависла неподвижно, получаем равенство qE = mg, откуда заряд капли q = mg/E. Массу капли Милликен определял по скорости её падения без поля (через сопротивление воздуха).

Проделав это с тысячами капель, он обнаружил главное: все измеренные заряды оказывались кратными одной и той же величине. Не бывало капли с зарядом «полторы порции» или «две с четвертью». Эта наименьшая порция и есть элементарный заряд: e ≈ 1,6·10⁻¹⁹ Кл.

Так было доказано, что электрический заряд дискретен, то есть квантован. Любой заряд любого тела равен целому числу элементарных: q = N·e. В 1923 году Милликен получил за это Нобелевскую премию.

Практические следствия, которые пригодятся в задачах.

Считать электроны. Если тело имеет заряд −3,2·10⁻¹⁹ Кл, на нём ровно два лишних электрона. Заряд 1 Кл соответствует примерно 6,25·10¹⁸ элементарных зарядов — колоссальное число, и именно поэтому кулон в быту слишком крупная единица, а привычные заряды измеряют в нано- и микрокулонах.

Проверять ответ на кратность. Если в задаче получился заряд 2,5·10⁻¹⁹ Кл, это невозможно: он не кратен элементарному. Такая проверка иногда ловит арифметическую ошибку.

Помнить про деление заряда пополам. При касании двух одинаковых шариков суммарный заряд делится поровну — приём, которым пользовался ещё Кулон. Если шарики разные по размеру, деление уже не пополам, и такие задачи в ЕГЭ не дают.

В 1785 году Шарль Кулон с помощью крутильных весов (той же конструкции, какой потом воспользуется Кавендиш для тяготения) измерил силу взаимодействия заряженных шариков и получил:

F = k·|q₁|·|q₂| / r², где k = 9·10⁹ Н·м²/Кл².

Сравни с законом всемирного тяготения F = G·m₁m₂/r² — структура одинаковая: произведение «зарядов» в числителе, квадрат расстояния в знаменателе. Это не совпадение, а следствие того, что оба поля распространяются в трёхмерном пространстве: площадь сферы растёт как r², поэтому «густота» силовых линий падает как 1/r².

Но есть и принципиальное отличие в силе взаимодействия. Сравним электрическую и гравитационную силу между двумя электронами. Отношение получается порядка 10⁴² — сорок два порядка. Тяготение чудовищно слабее электричества. Почему же миром больших тел правит тяготение? Потому что заряды бывают двух знаков и в обычном веществе скомпенсированы, а массы складываются всегда.

Три условия применимости формулы, которые обязательно оговаривают в развёрнутых решениях:

1. Заряды точечные, то есть их размеры малы по сравнению с расстоянием между ними. Для равномерно заряженных шаров формула тоже верна, если r брать между центрами. 2. Заряды неподвижны (электростатика). У движущихся зарядов появляется ещё и магнитное взаимодействие. 3. Взаимодействие в вакууме или в воздухе. В среде с диэлектрической проницаемостью ε сила уменьшается в ε раз: F = k·q₁q₂/(ε·r²). У воды ε ≈ 81 — поэтому соли в воде распадаются на ионы: притяжение между ними ослабевает почти в сто раз.

В проводниках (металлы, растворы солей, плазма) есть свободные заряды: у металла это электроны, оторвавшиеся от атомов и блуждающие по всему объёму. В диэлектриках (стекло, резина, воздух, дистиллированная вода) свободных зарядов практически нет: все электроны связаны со своими атомами.

Из этого следуют важные и проверяемые вещи.

Заряд на проводнике распределяется по поверхности. Одноимённые заряды отталкиваются и разбегаются как можно дальше друг от друга, а дальше всего — на поверхности. Внутри заряженного проводника поля нет вовсе.

Это и есть клетка Фарадея. Металлический корпус защищает то, что внутри, от внешнего электрического поля: заряды на его стенках перераспределяются так, что внутри поле компенсируется. Поэтому в автомобиле относительно безопасно во время грозы, а телефон в металлической коробке теряет связь.

Острия усиливают поле. На выступающих частях заряд скапливается гуще, напряжённость там больше, и воздух пробивается раньше. На этом построен громоотвод: остриё создаёт разряд заранее и уводит ток в землю по проводу, а не по стене дома.

Диэлектрик не проводит, но поляризуется. Во внешнем поле молекулы диэлектрика разворачиваются или растягиваются, и на его поверхности появляются связанные заряды, ослабляющие поле внутри в ε раз. Именно поэтому незаряженный кусочек бумаги притягивается к натёртой расчёске: поле расчёски поляризует бумагу, и ближняя сторона оказывается заряжена противоположно.