Задачи на доказательство (№24)

1. 1. Начинаем не с вычислений, а с чертежа: параллелограмм ABCD, диагонали AC и BD, точка O их пересечения, через O — прямая, задевающая BC в точке K и AD в точке M. В задании 24 чертежа нет, и строит его ученик: всё, что не отмечено на рисунке, из рассуждения выпадает.
2. 2. Следующий шаг — понять, что доказывать через что. Требуется равенство двух отрезков. Самый надёжный путь к равенству отрезков — найти равные треугольники, в которых эти отрезки лежат соответственными сторонами. BK лежит в треугольнике BOK, DM — в треугольнике DOM. Значит цель: доказать, что эти два треугольника равны.
3. 3. Ищем признак. Что известно про эту пару? Первое: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит O — середина BD и OB = OD. Это сторона.
4. 4. Второе: углы BOK и DOM равны как вертикальные — они образованы двумя пересекающимися прямыми, BD и нашей прямой KM.
5. 5. Третье: углы OBK и ODM равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Параллельность BC и AD дана тем, что ABCD — параллелограмм.
6. 6. Собираем: сторона OB = OD и два прилежащих к ней угла (при вершинах B и O с одной стороны, при вершинах D и O с другой). Это второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит треугольники BOK и DOM равны.
7. 7. Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон, в частности BK = DM. Что и требовалось доказать.
8. 8. Теперь о том, чем «доказать» отличается от «вычислить», — это главный вопрос линии 24. В вычислительной задаче достаточно верного числа, и путь к нему можно сократить. В доказательстве оценивается цепочка: каждое утверждение обязано опираться либо на данное условия, либо на теорему, названную по имени или по формулировке. Фраза «BK = DM, потому что это видно из чертежа» не доказательство: чертёж может быть неточным, и рассуждение на него опираться не может.
9. 9. Как записывают решение, чтобы получить оба балла. Пишут слово «Доказательство», затем утверждения по одному в строку, у каждого — обоснование, и заканчивают формулой «что и требовалось доказать». Обоснование лучше называть полностью: не «по признаку», а «по стороне и двум прилежащим к ней углам»; не «углы равны», а «равны как вертикальные».
10. 10. И типичная потеря балла именно здесь: доказали равенство треугольников и остановились. Равенство треугольников — не то, что просили. Обязателен последний шаг: «из равенства треугольников следует BK = DM». Без него доказано не то утверждение, которое стояло в условии.

Ответ: Треугольники BOK и DOM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (OB = OD как половины диагонали, углы при O вертикальные, углы при B и D накрест лежащие), поэтому BK = DM

1. 1. Чертёж: окружность с центром O, диаметр AB через центр, произвольная точка C на окружности, отрезки CA и CB. Отметим сразу радиусы OA, OB, OC — в задачах про окружность это почти всегда первое полезное действие.
2. 2. Ключевое наблюдение, из которого всё вырастет: OA = OB = OC, потому что это радиусы одной окружности. Значит на чертеже появились сразу два равнобедренных треугольника — AOC и BOC.
3. 3. Работаем с треугольником AOC. В нём OA = OC, значит он равнобедренный с основанием AC, и углы при основании равны: ∠OAC = ∠OCA. Обозначим каждый через α.
4. 4. Так же с треугольником BOC: OB = OC, углы при основании равны, ∠OBC = ∠OCB. Обозначим каждый через β.
5. 5. Теперь соберём угол ACB. Точка O лежит на отрезке AB, поэтому луч CO проходит внутри угла ACB, и угол разбивается на два: ∠ACB = ∠OCA + ∠OCB = α + β.
6. 6. Осталось применить сумму углов треугольника ABC. Его углы: ∠A = α, ∠B = β и ∠ACB = α + β. Их сумма равна 180°, то есть α + β + (α + β) = 2(α + β) = 180°.
7. 7. Отсюда α + β = 90°, а ∠ACB и равен α + β. Значит угол ACB прямой. Что и требовалось доказать.
8. 8. Обратите внимание на приём, которым эта задача решена, — он работает почти во всех задачах про окружность. Провести радиусы к отмеченным точкам и получить равнобедренные треугольники; обозначить равные углы буквами и выразить искомое через них; применить сумму углов. Три шага, никаких дополнительных построений.
9. 9. И про то, чего делать нельзя. Это утверждение — теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр, и она есть в учебнике. Но если её просят доказать, ссылаться на неё же нельзя: «угол ACB прямой, потому что он опирается на диаметр» — это цитирование того, что требуется доказать. Проверяющий ищет вывод, а не ссылку. Общее правило линии 24: ссылаться можно на теоремы более простые, чем доказываемое утверждение.
10. 10. Зачем этот факт нужен дальше. Из него следует обратное построение, которое постоянно используют в задании 25: если из точки отрезок виден под прямым углом, эта точка лежит на окружности с диаметром, равным отрезку. Так, две высоты треугольника дают четыре точки на одной окружности — и задача о произведении отрезков высот решается свойством пересекающихся хорд.

Ответ: OA = OB = OC как радиусы, треугольники AOC и BOC равнобедренные; ∠ACB = α + β, а из суммы углов треугольника 2(α + β) = 180°, значит ∠ACB = 90°

1. 1. Чертёж: трапеция ABCD, где BC и AD — основания (значит BC ∥ AD), диагонали AC и BD, точка O их пересечения. Диагонали делят трапецию на четыре треугольника; нам нужны два боковых, AOB и COD.
2. 2. Первая мысль, которая приходит, — искать равные треугольники, — здесь не работает: AOB и COD в общем случае не равны, у них разные стороны. Требуется равенство площадей, а это слабее равенства фигур, и добиваться его надо иначе.
3. 3. Приём, который здесь решает: взять два больших треугольника, у которых площади равны очевидным образом, и вычесть из них общую часть. Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
4. 4. Почему их площади равны. У них общее основание AD. Вершины B и C лежат на прямой BC, а она параллельна AD, значит расстояния от B и от C до прямой AD одинаковы — это и есть высота трапеции. Равные основания и равные высоты дают равные площади: S(ABD) = S(ACD).
5. 5. Теперь вычитаем. Оба треугольника содержат общий треугольник AOD. При этом S(ABD) − S(AOD) = S(AOB) и S(ACD) − S(AOD) = S(COD).
6. 6. Левые части этих двух равенств равны между собой (мы это доказали), общее вычитаемое одно и то же, значит равны и правые части: S(AOB) = S(COD). Что и требовалось доказать.
7. 7. Опора всего доказательства — теорема, которую стоит держать наготове: треугольники с общим основанием и вершинами на прямой, параллельной этому основанию, равновелики. Она же объясняет, почему у треугольников BOC и AOD площади разные: у них основания разной длины.
8. 8. Приём «вычесть общую часть» стоит запомнить отдельно: он годится всюду, где требуется равенство площадей, а фигуры не равны. Обратный приём — «добавить общую часть» — работает так же: если S(AOB) = S(COD), то, прибавив S(AOD) к обеим, получим S(ABD) = S(ACD).
9. 9. И полезное следствие, которое спрашивают в задании 25. Треугольники BOC и AOD подобны (углы при O вертикальные, углы при основаниях накрест лежащие), причём коэффициент подобия равен отношению оснований BC : AD. Отсюда: площади BOC и AOD относятся как квадрат этого отношения, а площадь каждого бокового треугольника равна среднему геометрическому площадей BOC и AOD. На этом и строятся задачи «площадь BOC равна 9, найдите площадь трапеции».

Ответ: S(ABD) = S(ACD) (общее основание AD, равные высоты из-за BC ∥ AD); вычитая общий треугольник AOD, получаем S(AOB) = S(COD)

1. 1. Чертёж: окружность с центром O, точка P снаружи, две прямые из P, касающиеся окружности в A и B; отрезки PA, PB и обязательно радиусы OA, OB и отрезок OP. Радиусы в точки касания и отрезок к внешней точке — то самое дополнительное построение, без которого задача не решается.
2. 2. Первое, что даёт касательная: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит ∠OAP = 90° и ∠OBP = 90°. Появились два прямоугольных треугольника — OAP и OBP.
3. 3. Смотрим, что у них общее и что равно. Гипотенуза OP общая — это один и тот же отрезок для обоих треугольников. Катеты OA и OB равны как радиусы одной окружности.
4. 4. Гипотенуза и катет — это признак равенства прямоугольных треугольников. Значит треугольники OAP и OBP равны по гипотенузе и катету.
5. 5. Из равенства треугольников следует равенство остальных соответственных элементов, в частности вторых катетов: PA = PB. Что и требовалось доказать.
6. 6. Заодно бесплатно получен второй важный вывод, о котором спрашивают отдельно: равны и углы APO и BPO, то есть прямая PO — биссектриса угла APB, а также равны углы AOP и BOP. Отрезок от внешней точки до центра делит и угол между касательными, и угол между радиусами.
7. 7. Что здесь нужно было заметить и что чаще всего пропускают. Условие «касательная» само по себе ничего не даёт, пока не проведён радиус в точку касания: перпендикулярность появляется только после этого построения. Правило для всей планиметрии: слово «касательная» в условии означает «проведи радиус в точку касания».
8. 8. Зачем этот факт дальше. Равенство отрезков касательных из одной точки — рабочий инструмент задачи 25 про вписанную окружность. Если окружность вписана в треугольник со сторонами a, b, c, то от каждой вершины до двух точек касания отрезки равны, и отсюда длина отрезка от вершины A до точки касания равна p − a, где p — полупериметр. Тот же приём в равнобедренной трапеции с вписанной окружностью позволяет по отрезкам касания найти основания и радиус.
9. 9. И про оформление. Доказательство из четырёх строк — нормальная длина для линии 24; растягивать его не нужно. Но каждая строка обязана быть обоснованной: «углы прямые, так как радиус перпендикулярен касательной», «катеты равны как радиусы», «по гипотенузе и катету», «отсюда PA = PB». Четыре обоснования — два балла.

Ответ: ∠OAP = ∠OBP = 90° (радиус перпендикулярен касательной); прямоугольные треугольники OAP и OBP равны по общей гипотенузе OP и катетам OA = OB, поэтому PA = PB