ЕГЭ · Математика (профиль) · Планиметрия
Окружность: вписанные и центральные углы
Вписанные углы и вписанный четырёхугольник — ещё одна классика задания 1.
🎯 ЕГЭ профиль: этот урок закрывает задание(я) 1.
- ⚠Забывают, что вписанный угол в 2 раза меньше центрального на ту же дугу
- ⚠Путают угол, опирающийся на диаметр (всегда 90°)
- ⚠Теряют второй случай расположения точки
Окружность: вписанные и центральные углы (задание 1)
| Вписанный угол | = половина центрального, опирающегося на ту же дугу |
|---|---|
| Угол на диаметре | прямой (90°) |
| Углы на одной дуге | равны между собой |
| Вписанный четырёхугольник | суммы противоположных углов = 180° |
Увидел «четырёхугольник вписан в окружность» — сразу пиши: сумма противоположных углов = 180°. Это мгновенно даёт недостающие углы.
Разбор примера
Углы вписанного четырёхугольника
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 48° и 14°. Найдите больший из оставшихся углов.
Показать решение по шагам
- 1. В вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме дают 180°.
- 2. Угол, противоположный 48°, равен 180° − 48° = 132°.
- 3. Угол, противоположный 14°, равен 180° − 14° = 166°.
- 4. Больший из оставшихся — 166°.
Ответ: 166°
Вопрос на проверку
Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
| Центральный угол | равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол — половина этой дуги |
|---|---|
| Касательная | перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки двух касательных из одной точки равны |
| Угол между касательной и хордой | = половина дуги, заключённой внутри него, то есть равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны |
| Пересекающиеся хорды | AP·PB = CP·PD (P — точка пересечения) |
| Секущие и касательная из точки P вне окружности | PA·PB = PC·PD; для касательной PT² = PA·PB |
| Угол между хордами (вершина внутри) | = полусумма двух дуг; для секущих с вершиной вне окружности — полуразность |
| Вписанный четырёхугольник | суммы противоположных углов = 180° |
| Радиус описанной окружности | по теореме синусов a/sin A = 2R |
Разбор примера
Дуга задана долей окружности
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.
Показать решение по шагам
- 1. Вся окружность — 360°. Дуга в 20% от неё: 0,20 · 360° = 72°.
- 2. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: 72° : 2 = 36°.
- 3. Проверка порядком величины: 20% окружности — заметно меньше четверти, значит центральный угол меньше 90°, а вписанный меньше 45°. Число 36 в этот диапазон укладывается.
Ответ: Ответ: 36
Разбор примера
Произведение отрезков пересекающихся хорд
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P. Известно, что AP = 4, PB = 9, CP = 6. Найдите PD.
Показать решение по шагам
- 1. Теорема о произведении отрезков хорд: если две хорды пересекаются в точке P, то AP·PB = CP·PD. Обоснование — подобие треугольников APC и DPB по двум углам: вертикальные углы при P равны, а вписанные углы CAP и BDP опираются на одну дугу CB.
- 2. Подставляем: 4 · 9 = 6 · PD, то есть 36 = 6·PD.
- 3. PD = 36 : 6 = 6.
- 4. Проверка на разумность: хорда CD равна 6 + 6 = 12, хорда AB равна 4 + 9 = 13 — величины сопоставимы, противоречия нет.
Ответ: Ответ: 6
Разбор примера
Радиус описанной окружности через теорему синусов
В треугольнике ABC сторона AB = 12, а угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Показать решение по шагам
- 1. Теорема синусов в расширенной форме: сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна 2R. Стороне AB противолежит угол C.
- 2. AB / sin C = 2R, то есть 12 / sin 30° = 2R.
- 3. sin 30° = 0,5, поэтому 12 : 0,5 = 24 = 2R.
- 4. R = 12.
- 5. Смысловая проверка: угол C = 30° вписанный, значит дуга AB равна 60°. Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу — и действительно AB = 12 = R.
Ответ: Ответ: 12
Частая ловушка: «вписанный угол равен половине центрального» верно только когда оба опираются на одну и ту же дугу. Если вершина вписанного угла лежит на меньшей дуге, он опирается на бо́льшую и равен половине уже другой дуги. Считай всегда через дугу, а не через «половину угла на картинке».
Вопрос на проверку
Из точки P вне окружности проведены касательная PT и секущая, пересекающая окружность в точках A и B (PA = 4, PB = 9). Чему равна PT?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №1 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №1 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №1 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №1 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №1 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.