Задание 6 ЕГЭ по информатике

1. 1. Шаг 1. Стартуем в (0, 0), голова смотрит вверх. «Вперёд 13» → приходим в (0, 13).
2. 2. Шаг 2. «Направо 90» — теперь голова смотрит вправо. «Вперёд 5» → (5, 13).
3. 3. Шаг 3. «Налево 270» равносильно «Направо 90», голова смотрит вниз. «Вперёд 5» → (5, 8).
4. 4. Шаг 4. «Направо 270» равносильно «Налево 90», голова смотрит вправо. «Вперёд 6» → (11, 8).
5. 5. Шаг 5. «Налево 90» — голова вверх. «Вперёд 5» → (11, 13). Затем «Направо 90» (вправо) и «Вперёд 3» → (14, 13).
6. 6. Шаг 6. «Направо 90» — голова вниз. «Вперёд 13» → (14, 0). «Направо 90» — голова влево. «Вперёд 14» → (0, 0): линия замкнулась ✔
7. 7. Шаг 7. Считаем площадь по шнуровке для вершин (0,0), (0,13), (5,13), (5,8), (11,8), (11,13), (14,13), (14,0). Удобнее разбить фигуру: это прямоугольник 14 × 13 = 182 минус вырез 6 × 5 = 30 сверху между x = 5 и x = 11. S = 182 − 30 = 152.
8. 8. Шаг 8. Считаем точки на границе. Все стороны вертикальные или горизонтальные, поэтому вклад каждой равен её длине: 13 + 5 + 5 + 6 + 5 + 3 + 13 + 14 = 64.
9. 9. Шаг 9. Применяем теорему Пика: I = S − B/2 + 1 = 152 − 32 + 1 = 121.
10. 10. Самопроверка: у сплошного прямоугольника 14 × 13 внутренних точек было бы 13 · 12 = 156; вырез убирает часть — 121 < 156, порядок правдоподобен ✔

Ответ: 121

1. 1. Шаг 1. Отслеживаем координаты: (0,0) → вверх на 12 → (0, 12) → вправо на 9 → (9, 12) → вниз на 12 → (9, 0) → влево на 9 → (0, 0). Фигура замкнулась.
2. 2. Шаг 2. Это прямоугольник со сторонами 9 и 12, параллельными осям.
3. 3. Шаг 3. Для такого прямоугольника внутренние точки образуют решётку из (9 − 1) столбцов и (12 − 1) строк: I = 8 · 11 = 88.
4. 4. Шаг 4. Проверим через Пика: S = 9 · 12 = 108; B = 2 · (9 + 12) = 42; I = 108 − 21 + 1 = 88 ✔ Оба способа совпали.
5. 5. Вывод: формулу (a − 1)(b − 1) можно применять только к прямоугольнику со сторонами по осям; во всех остальных случаях считаем по Пику.

Ответ: 88

1. 1.

   Шаг 1. Считать такие задачи руками можно, но на экзамене команд бывает два десятка, а поворот на 270 путает всех. Надёжнее один раз написать интерпретатор и потом просто вставлять в него текст алгоритма. Программа целиком:

   ```python import math

   • • programma = '''Вперёд 9
   • • Направо 90
   • • Вперёд 4
   • • Налево 270
   • • Вперёд 3
   • • Направо 270
   • • Вперёд 3
   • • Налево 90
   • • Вперёд 3
   • • Направо 90
   • • Вперёд 6
   • • Налево 270
   • • Вперёд 9
   • • Налево 270
   • • Вперёд 13'''

   x = y = 0
   ugol = 90
   vershiny = [(0, 0)]

   for komanda in programma.split('\n'): slovo, chislo = komanda.split()

       n = int(chislo)
       if slovo in ('Вперёд', 'Назад'):
           shag = n if slovo == 'Вперёд' else -n
           x += round(math.cos(math.radians(ugol))) * shag
           y += round(math.sin(math.radians(ugol))) * shag
           vershiny.append((x, y))
       elif slovo == 'Направо':
           ugol = (ugol - n) % 360
       else:
           ugol = (ugol + n) % 360

   print(vershiny) ```

2. 2. Шаг 2. Ключевое решение здесь — хранить направление углом в градусах, а не парой сдвигов. Старт ugol = 90 — это и есть «голова вдоль положительного направления оси ординат»: косинус 90° равен нулю, синус — единице, то есть шаг вперёд увеличивает y. Направо уменьшает угол, Налево увеличивает, остаток % 360 держит его в пределах круга.
3. 3. Шаг 3. Зачем round вокруг косинуса? Потому что math.cos(math.radians(90)) возвращает не ровно ноль, а 6.1e-17 — обычная плата за вещественные числа. Без округления координаты станут дробными вроде 3.9999999999999996, и дальше ни целые точки, ни НОД работать не будут. Для углов, кратных 90°, round даёт ровно 0, 1 или −1.
4. 4. Шаг 4. Проследим первые команды. Старт: x = 0, y = 0, ugol = 90. Вперёд 9: косинус 0, синус 1 → точка становится (0, 9). Направо 90: угол 90 − 90 = 0, голова смотрит вправо. Вперёд 4: косинус 1, синус 0 → (4, 9).
5. 5. Шаг 5. Налево 270: угол 0 + 270 = 270, голова смотрит вниз. Заметьте, что это ровно то же, что Направо 90: 0 − 90 = −90, а −90 % 360 в Python даёт 270. Остаток от отрицательного числа в Python неотрицателен, и это именно то поведение, которое здесь нужно. Вперёд 3 → (4, 6).
6. 6. Шаг 6. Дальше по тому же правилу: Направо 270 (угол 270 − 270 = 0, вправо), Вперёд 3 → (7, 6); Налево 90 (угол 90, вверх), Вперёд 3 → (7, 9); Направо 90 (угол 0, вправо), Вперёд 6 → (13, 9); Налево 270 (угол 270, вниз), Вперёд 9 → (13, 0); Налево 270 (угол 180, влево), Вперёд 13 → (0, 0). Вернулись в старт — линия замкнута.
7. 7.

   Шаг 7. Список вершин: (0,0), (0,9), (4,9), (4,6), (7,6), (7,9), (13,9), (13,0). Теперь вторая половина программы — площадь и граница:

   ```python

   if vershiny[0] == vershiny[-1]:
       vershiny = vershiny[:-1]

   udvoennaya_ploshchad = 0
   granica = 0
   k = len(vershiny)
   for i in range(k):

   x1, y1 = vershiny[i] x2, y2 = vershiny[(i + 1) % k]

       udvoennaya_ploshchad += x1 * y2 - x2 * y1
       granica += math.gcd(abs(x2 - x1), abs(y2 - y1))

   S = abs(udvoennaya_ploshchad) / 2
   vnutri = int(S - granica / 2 + 1)
   print('S =', S, 'B =', granica, 'внутри =', vnutri)

   ```

8. 8. Шаг 8. Выражение vershiny[(i + 1) % k] замыкает обход: у последней вершины следующей становится нулевая. Это стандартный приём для многоугольников, и он избавляет от отдельной обработки последней стороны. Строка перед циклом убирает повторённую стартовую точку, иначе одна сторона нулевой длины посчитается дважды и НОД(0, 0) даст ноль — не ошибка, но путаницу.
9. 9. Шаг 9. Трассировка подсчёта. Формула шнуровки накапливает x₁·y₂ − x₂·y₁ по парам вершин; после обхода модуль суммы равен 216, значит S = 108. Граница: НОД по сторонам даёт 9 + 4 + 3 + 3 + 3 + 6 + 9 + 13 = 50 — как и обещано, для сторон вдоль осей это просто периметр.
10. 10. Шаг 10. Формула Пика: I = S − B/2 + 1 = 108 − 25 + 1 = 84. Программа печатает S = 108.0 B = 50 внутри = 84. Проверить результат можно грубой силой — перебрать все целые точки в охватывающем прямоугольнике и посчитать попадания; на полях размером десятки единиц это мгновенно и служит отличной страховкой, если сомневаетесь в формуле.
11. 11. Шаг 11. Один раз набранный интерпретатор решает любое задание 6: меняется только текст в тройных кавычках. Тройные кавычки нужны как раз затем, чтобы вставить многострочный алгоритм как есть, ничего не переписывая. Это экономит на экзамене не столько минуты, сколько нервы: ошибку в повороте на 270 глазами найти почти невозможно, а программа её просто не делает.

Ответ: 84

1. 1. Шаг 1. Здесь сразу две ловушки: команда Назад и другая формулировка вопроса. Разберём сначала движение, шаг за шагом отслеживая и точку, и направление головы.
2. 2. Шаг 2. Старт (0, 0), голова вверх. Вперёд 14 → (0, 14), голова вверх. Направо 270 — поворот на 270° по часовой стрелке, то есть голова смотрит влево.
3. 3. Шаг 3. Назад 6 — сдвиг на 6 в сторону, противоположную голове, то есть вправо: точка становится (6, 14). И главное: направление головы не изменилось, она по-прежнему смотрит влево. Вот здесь теряют больше всего баллов — следующий поворот отсчитывается от «влево», а не от фактического направления движения.
4. 4. Шаг 4. Налево 90 от направления «влево» даёт вниз. Вперёд 5 → (6, 9). Налево 270 от «вниз» даёт влево. Назад 4 — снова сдвиг в противоположную сторону, то есть вправо: (10, 9), голова смотрит влево.
5. 5. Шаг 5. Налево 90 от «влево» → вниз. Вперёд 9 → (10, 0). Налево 270 от «вниз» → влево. Вперёд 10 → (0, 0). Линия замкнулась. Вершины: (0,0), (0,14), (6,14), (6,9), (10,9), (10,0).
6. 6. Шаг 6. Проверим себя интерпретатором из предыдущего разбора — он обрабатывает Назад тем же кодом, просто со знаком минус в шаге. Вывод: [(0, 0), (0, 14), (6, 14), (6, 9), (10, 9), (10, 0), (0, 0)] — ровно то, что мы получили руками. Ценность программы именно в этом: она не путается в «Назад после Направо 270».
7. 7. Шаг 7. Площадь. Фигура ступенчатая; разрежем её горизонталью y = 9. Нижняя часть — прямоугольник 10 × 9 = 90, верхняя — 6 × 5 = 30. Итого S = 120. Формула шнуровки даёт то же самое, и на экзамене лучше довериться ей: разрезы легко сделать неправильно, если фигура сложнее ступеньки.
8. 8. Шаг 8. Граница. Все стороны вдоль осей, значит B равно периметру: 14 + 6 + 5 + 4 + 9 + 10 = 48. Обратите внимание, что длины берутся по координатам вершин, а не из текста алгоритма: команда «Назад 6» дала сторону длиной 6, но окажись в алгоритме два подряд движения в одну сторону, они слились бы в одну сторону двойной длины.
9. 9. Шаг 9. Число строго внутренних точек: I = S − B/2 + 1 = 120 − 24 + 1 = 97. Но вопрос задан иначе — «включая точки на самой линии». Значит, к внутренним точкам надо прибавить граничные: 97 + 48 = 145.
10. 10. Шаг 10. Вот цена невнимательности: 97 и 145 — два совершенно разных ответа для одной и той же фигуры, и оба «правильные» для своей формулировки. Перечитывать последнее предложение условия перед тем, как записать ответ, — обязательная привычка в линии 6. Формулировок ровно две: «строго внутри, точки на линии не учитываются» → I; «включая точки на линии» → I + B.

Ответ: 145 (строго внутри было бы 97)