Задание 15 ЕГЭ по информатике

1. 1. Импликация ложна там, где x∈A, но x∉B. Чтобы этого не случилось, A должен целиком лежать в B.
2. 2. Максимально возможный A — это сам B=[10;20]. Но нам нужна наименьшая длина A? Условие требует только тождественной истинности, а самый короткий подходящий A — пустой/точка внутри B.
3. 3. Если по смыслу задачи A непуст и требуется минимум — берём A внутри B, минимальная длина стремится к 0. В реальных задачах ограничения формулируют точнее (см. боевую задачу).

Ответ: A ⊆ B; конкретный минимум определяется условием

1. 1. Шаг 1. Читаем импликацию как включение: L → R тождественно истинна означает L ⊆ R. Слева стоит A, справа — объединение P и Q. Значит, A ⊆ P ∪ Q.
2. 2. Шаг 2. Находим объединение. P = [15, 30] и Q = [25, 45] перекрываются на участке [25, 30], поэтому объединение — это один сплошной отрезок [15, 45]. Если бы отрезки не перекрывались, объединение распалось бы на две части, и отрезок A пришлось бы целиком уместить в одну из них.
3. 3. Шаг 3. Наибольший отрезок, целиком лежащий в [15, 45], — это сам [15, 45]. Его длина 45 − 15 = 30.
4. 4. Шаг 4. Сверяем направление с вопросом. Стрелка ведёт от A наружу, значит A внутри, и такой отрезок можно только уменьшать — поэтому осмысленно спрашивать наибольшую длину. Если бы стрелка вела к A, он был бы снаружи, его можно было бы только увеличивать, и спрашивали бы наименьшую. Согласованность вопроса и направления стрелки — главная проверка в этом типе задач.
5. 5.

   Шаг 5. Проверка перебором по целым точкам:

   P = set(range(15, 31))
   Q = set(range(25, 46))
   U = P | Q

   lucshee = 0
   for a in range(0, 60):
       for b in range(a, 60):
           if all(x in U for x in range(a, b + 1)):
               lucshee = max(lucshee, b - a)
   print(lucshee)

6. 6. Шаг 6. Программа печатает 30 ✔ Обратите внимание: перебираются оба конца отрезка, а условие проверяется на каждой целой точке между ними. Такой перебор не требует понимать, где объединение, — он просто находит самый длинный сплошной кусок.
7. 7. Шаг 7. Ловушка невключённых концов. В ЕГЭ отрезки обычно замкнутые, и точки 15 и 45 входят. Если в условии стоит интервал (15, 45), крайние точки не входят, и на целочисленном переборе это меняет ответ на два. Читайте скобки.

Ответ: 30

1. 1. Шаг 1. Множество слева — это объединение: числа, кратные 24, вместе с числами, кратными 36. Дизъюнкция всегда даёт объединение, конъюнкция — пересечение, и путать их нельзя.
2. 2. Шаг 2. Условие требует, чтобы каждое число из этого объединения делилось на A. В частности, на A должно делиться само число 24 и само число 36.
3. 3. Шаг 3. Значит, A — общий делитель чисел 24 и 36. Наибольший общий делитель: 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3², общие множители 2² · 3 = 12.
4. 4. Шаг 4. Проверим, что 12 действительно годится для всех чисел объединения, а не только для 24 и 36. Любое кратное 24 имеет вид 24k = 12 · 2k — делится на 12 ✔ Любое кратное 36 имеет вид 36k = 12 · 3k — тоже ✔
5. 5. Шаг 5. Ответ: 12. Проверка, что больше нельзя: A = 24 не делит 36, A = 18 не делит 24, A = 36 не делит 24.
6. 6.

   Шаг 6. Проверка перебором:

   podhodyat = [A for A in range(1, 200)
                if all(x % A == 0 for x in list(range(24, 24 * 40, 24))

   + list(range(36, 36 * 40, 36)))] print(podhodyat, max(podhodyat))

7. 7. Шаг 7. Программа печатает список 1, 2, 3, 4, 6, 12 и наибольшее 12 ✔ Заметьте, что это в точности все делители числа 12 — так и должно быть: раз A делит 12, он делит и всё, что делится на 12.
8. 8. Шаг 8. Сравните с разбором из соседнего урока, где стояла конъюнкция ДЕЛ(x, 18) ∧ ДЕЛ(x, 24) и ответом было НОК. Правило простое: слева конъюнкция — берём НОК, слева дизъюнкция — берём НОД. Одна связка меняет и метод, и ответ.

Ответ: 12

1. 1. Шаг 1. Вспоминаем тождество: A → B = ¬A ∨ B. Значит, отрицание импликации — это отрицание дизъюнкции.
2. 2. Шаг 2. Применяем де Моргана: ¬(¬A ∨ B) = ¬¬A ∧ ¬B = A ∧ ¬B.
3. 3. Шаг 3. Получаем правило, которое стоит помнить наизусть: ¬(A → B) = A ∧ ¬B. Отрицание импликации — это конъюнкция, а не импликация в обратную сторону, и не дизъюнкция.
4. 4. Шаг 4. Переводим на язык множеств. Условие истинно там, где x принадлежит A и не принадлежит P, то есть на разности множеств A \ P. На кругах Эйлера это часть круга A, не накрытая кругом P.
5. 5. Шаг 5. Проверка смыслом. Импликация «если x в A, то x в P» ложна ровно в одном случае: нашёлся элемент A, которого нет в P. Это ровно то, что и описывает разность ✔
6. 6. Шаг 6. Зачем это в задании 15. Условие вида «формула ¬((x ∈ A) → (x ∈ P)) ложна при любом x» сразу превращается в «разность A \ P пуста», то есть A ⊆ P. Без преобразования это же условие приходится разбирать случаями, а после преобразования оно читается одной строкой.
7. 7.

   Шаг 7. Проверка программой на всех наборах:

   from itertools import product

   for a, p in product([0, 1], repeat=2):
       levo = not (a <= p)          # ¬(a → p)
       pravo = a and not p          # a ∧ ¬p
       print(a, p, int(levo), int(pravo))

8. 8. Шаг 8. Печатаются четыре строки, и в каждой две последние колонки совпадают: «0 0 0 0», «0 1 0 0», «1 0 1 1», «1 1 0 0» ✔ Единица получается только при a = 1, p = 0 — как и говорит правило.

Ответ: A ∧ ¬B, то есть разность множеств A \ P

1. 1. Шаг 1. Переводим каждую импликацию в вложение: первая означает A ⊆ P, вторая — A ⊆ Q.
2. 2. Шаг 2. Конъюнкция требует выполнения обоих условий одновременно: A ⊆ P ∩ Q.
3. 3. Шаг 3. Находим пересечение отрезков. Левая граница — больший из левых концов: max(15, 20) = 20. Правая — меньший из правых: min(30, 40) = 30. Значит P ∩ Q = [20; 30].
4. 4. Шаг 4. Самый длинный отрезок, целиком лежащий в [20; 30], — это сам [20; 30].
5. 5. Шаг 5. Его длина: 30 − 20 = 10.
6. 6. Проверка: возьмём A = [20; 30] и любую точку x = 25 — она лежит и в P, и в Q ✔. А если взять A = [19; 30], то x = 19 попадёт в A, но не в Q, и вторая импликация станет ложной ✘

Ответ: 10