ЕГЭ · Физика · Методы измерений, погрешности и часть 2
Погрешности измерений
Любое измерение неточно. Учимся находить цену деления, отличать абсолютную погрешность от относительной, правильно записывать результат и переносить погрешность на косвенные измерения.
🎯 ЕГЭ физика: этот урок закрывает задание(я) 19.
- ⚠Путают абсолютную (в единицах величины) и относительную (в процентах) погрешность
- ⚠Берут погрешность прибора не равной половине цены деления
- ⚠Неправильно считают цену деления: делят на число штрихов, а надо на число промежутков
- ⚠Записывают результат без интервала, просто числом
- ⚠Сравнивают точность двух измерений по абсолютной погрешности
- ⚠При косвенных измерениях складывают абсолютные погрешности там, где надо складывать относительные
Две погрешности — и зачем нужна каждая
Абсолютная и относительная погрешность: зачем нужны обе
Погрешность записывают двумя способами, и они отвечают на разные вопросы.
Абсолютная погрешность Δa измеряется в тех же единицах, что и сама величина, и показывает ширину интервала, в котором лежит истинное значение: a = a(изм) ± Δa.
Относительная погрешность δ — отношение абсолютной к самому значению, обычно в процентах:
δ = Δa / a(изм) · 100 %
Она безразмерна и показывает качество измерения.
Почему одной абсолютной мало, видно на примере. Измерили длину комнаты: (5,00 ± 0,01) м. Измерили толщину книги: (0,03 ± 0,01) м. Абсолютная погрешность одинакова — сантиметр. Но относительная у первого измерения 0,2 %, а у второго 33 %: длина комнаты измерена отлично, а толщина книги — практически никак.
Вывод, который пригодится в задании 20: одну и ту же абсолютную погрешность можно считать большой или маленькой только в сравнении с самой величиной. Поэтому мелкие объекты измеряют микрометром, а не линейкой, — не потому, что линейка «плохая», а потому, что у неё относительная погрешность на таких размерах становится недопустимой.
Практический приём. Если нужно уменьшить относительную погрешность, есть два пути: взять более точный прибор (уменьшить числитель) или измерять бо́льшую величину (увеличить знаменатель). Второй путь часто дешевле: измеряют толщину стопки из ста листов и делят на сто, время двадцати колебаний и делят на двадцать, массу сотни гвоздей и делят на сто.
| Абсолютная Δa | в тех же единицах, что и сама величина. Показывает ширину интервала, в котором лежит истинное значение: результат a = aизм ± Δa |
|---|---|
| Относительная δ | δ = Δa/aизм, безразмерна, обычно выражается в процентах. Показывает, какую долю измеренного значения составляет неопределённость |
| Что с чем сравнивать | точность измерений корректно сравнивать только по относительной погрешности: чем меньше δ, тем точнее |
| Цена деления шкалы | (большее оцифрованное значение − меньшее) / число промежутков между ними. Считают промежутки, а не штрихи |
| Инструментальная погрешность | для шкального прибора принимают равной половине цены деления; для цифрового — единице последнего разряда (если не указано иное) |
| Запись результата | погрешность округляют до одной значащей цифры, а само значение — до того же разряда: (0,8 ± 0,1) А, а не (0,83 ± 0,1) А |
Разбор шкалы по шагам
На схеме выше оцифрованы отметки 0, 1 и 2 ампера, между соседними оцифрованными делениями пять промежутков. Цена деления = (1 − 0)/5 = 0,2 А. Погрешность прибора — половина цены деления: Δ = 0,1 А. Стрелка стоит на четвёртой малой отметке после нуля, то есть показывает 4·0,2 = 0,8 А. Записываем результат: I = (0,8 ± 0,1) А, относительная погрешность δ = 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5 %. Самая частая ошибка на этом шаге — посчитать не промежутки, а штрихи (их шесть с учётом нулевого) и получить цену деления 1/6 ≈ 0,17 А.
Погрешности косвенных измерений
| Сложение и вычитание | складываются абсолютные погрешности: если c = a + b или c = a − b, то Δc = Δa + Δb |
|---|---|
| Умножение и деление | складываются относительные погрешности: если c = a·b или c = a/b, то δc = δa + δb |
| Возведение в степень | относительная погрешность умножается на показатель: для c = a² получаем δc = 2·δa, для c = √a — δc = 0,5·δa |
| Пример: ρ = m/V | δρ = δm + δV, затем Δρ = δρ·ρ |
| Кто «портит» результат | точность результата ограничена самым грубым из измерений: улучшать остальные бессмысленно, пока не улучшено оно |
| Граница применимости | эти правила дают оценку «в худшем случае» и годятся при малых относительных погрешностях (единицы процентов). При δ порядка десятков процентов оценка сильно завышена |
Как погрешность переходит на вычисленную величину
В косвенных измерениях величину не считывают, а вычисляют. Погрешность при этом наследуется от исходных величин, и правила наследования зависят от того, какое действие выполняется.
При сложении и вычитании складываются АБСОЛЮТНЫЕ погрешности.
Если c = a + b или c = a − b, то Δc = Δa + Δb.
Отсюда важное предупреждение: вычитание близких величин разрушает точность. Пусть a = (10,0 ± 0,1) см и b = (9,8 ± 0,1) см. Разность c = 0,2 см, а её погрешность Δc = 0,2 см — то есть сто процентов. Результат бессмыслен, хотя оба исходных измерения были хорошими. Если в опыте получается такая ситуация, методику надо менять, а не считать аккуратнее.
При умножении и делении складываются ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ погрешности.
Если c = a · b или c = a / b, то δc = δa + δb.
Пример: плотность ρ = m/V. Массу измерили с относительной погрешностью 1 %, объём — с 3 %. Тогда плотность известна с точностью 4 %. Видно, где узкое место: улучшать надо измерение объёма, а не массы. Это и есть главная практическая польза правила — оно показывает, какое из измерений портит результат.
При возведении в степень относительная погрешность умножается на показатель. Если c = a³, то δc = 3 · δa. Поэтому объём шара, вычисленный по радиусу, известен втрое хуже самого радиуса: ошибка в радиусе на 1 % даёт 3 % в объёме.
Как записать окончательный ответ. Сначала считают относительную погрешность, потом переводят её обратно в абсолютную: Δc = δc · c, округляют погрешность до одной-двух значащих цифр и подгоняют результат под тот же разряд.
Как проверять согласие с теорией: измеренное значение считается согласующимся с табличным, если табличное попадает в интервал aизм ± Δa (или если интервалы пересекаются). Например, результат g = (9,4 ± 0,5) м/с² даёт интервал от 8,9 до 9,9 м/с², куда табличное 9,8 м/с² попадает, — значит, опыт теорию подтверждает.
Разбор примера
Пример: погрешность плотности по массе и объёму
Масса тела m = (250 ± 5) г, объём V = (100 ± 2) см³. Найдите плотность и её абсолютную погрешность.
Показать решение по шагам
- 1. Шаг 1: Считаем саму плотность: ρ = m/V = 250/100 = 2,5 г/см³.
- 2. Шаг 2: Находим относительные погрешности исходных величин. Для массы: δm = 5/250 = 0,02, то есть 2 %. Для объёма: δV = 2/100 = 0,02, то есть тоже 2 %.
- 3. Шаг 3: Плотность получается делением, значит относительные погрешности складываются: δρ = 2 % + 2 % = 4 %.
- 4. Шаг 4: Переводим обратно в абсолютную: Δρ = 0,04 · 2,5 = 0,1 г/см³.
- 5. Шаг 5: Записываем ответ с согласованными разрядами: ρ = (2,5 ± 0,1) г/см³.
- 6. Шаг 6: Проверка смысла: интервал от 2,4 до 2,6 г/см³. Если бы мы хотели определить материал по таблице плотностей, такой точности хватило бы, чтобы отличить алюминий (2,7) от дюралюминия, но не хватило бы для более тонких различий — и это честный вывод, который стоит уметь формулировать.
Ответ: ρ = (2,5 ± 0,1) г/см³, относительная погрешность 4 %.
Как записывать результат, чтобы не потерять балл: погрешность округляют до одной значащей цифры, а значение — до того же разряда, что и погрешность. Правильно: (1,4 ± 0,1) А, (25 ± 5) см³, (−6 ± 1) °C. Неправильно: (1,43 ± 0,1) А — лишняя цифра обещает точность, которой нет; (1,4 ± 0,12) А — две значащие цифры в погрешности; «1,4 А» без погрешности там, где её требуют.
Вопрос на проверку
Период маятника определяют, измеряя время 20 полных колебаний и деля результат на 20. Зачем так делают?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор примера
Относительная погрешность
Длину измерили как l = (50 ± 1) мм. Найдите относительную погрешность в процентах.
Показать решение по шагам
- 1. Дано: lизм = 50 мм, Δl = 1 мм. Найти: δ.
- 2. Определение: δ = Δl/lизм.
- 3. δ = 1/50 = 0,02.
- 4. В процентах: 0,02·100 % = 2 %.
- 5. Проверка: погрешность и значение — в одних единицах (мм), поэтому δ безразмерна ✔
Ответ: δ = 2 %
Разбор примера
Показание прибора с погрешностью
На шкале амперметра оцифрованы отметки 0, 1 и 2 А; между соседними оцифрованными отметками пять равных промежутков. Стрелка остановилась на четвёртой малой отметке после нуля. Запишите результат измерения с учётом погрешности и найдите относительную погрешность.
Показать решение по шагам
- 1. Цена деления: c = (1 А − 0 А)/5 промежутков = 0,2 А.
- 2. Погрешность прибора: Δ = c/2 = 0,1 А.
- 3. Показание: 4 деления · 0,2 А = 0,8 А.
- 4. Запись результата: I = (0,8 ± 0,1) А — погрешность округлена до одной значащей цифры, значение — до того же разряда.
- 5. Относительная погрешность: δ = 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5 %.
- 6. Проверка правдоподобия: истинное значение лежит между 0,7 и 0,9 А ✔
Ответ: I = (0,8 ± 0,1) А; δ = 12,5 %
Разбор примера
Погрешность плотности (косвенное измерение)
Масса тела измерена как m = (100 ± 2) г, объём — как V = (50 ± 1) см³. Найдите плотность и её абсолютную погрешность.
Показать решение по шагам
- 1. Дано: m = 100 г, Δm = 2 г; V = 50 см³, ΔV = 1 см³. Найти: ρ и Δρ.
- 2. Значение: ρ = m/V = 100/50 = 2 г/см³.
- 3. Плотность — частное, поэтому складываем относительные погрешности: δρ = δm + δV.
- 4. δm = 2/100 = 0,02 (2 %); δV = 1/50 = 0,02 (2 %); δρ = 0,04 = 4 %.
- 5. Абсолютная: Δρ = δρ·ρ = 0,04·2 = 0,08 г/см³.
- 6. Ответ записываем как ρ = (2,00 ± 0,08) г/см³.
- 7. Проверка размерности: г/см³ ✔ Проверка логики: относительная погрешность результата больше, чем у каждого измерения по отдельности, — так и должно быть ✔
Ответ: ρ = (2,00 ± 0,08) г/см³, δ = 4 %
Вопрос на проверку
Два измерения: (100 ± 2) г и (10 ± 2) г. У какого из них выше точность?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
На шкале линейки между отметками 0 и 1 см расположено 10 промежутков. Чему равна погрешность измерения такой линейкой?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Период маятника измерен с относительной погрешностью 3 %. С какой относительной погрешностью будет найдена величина T²?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №19 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №19 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №19 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор примера
Согласуется ли результат с табличным значением
В опыте по определению ускорения свободного падения получили g = (9,5 ± 0,4) м/с². Табличное значение 9,8 м/с². Можно ли считать, что результат согласуется с теорией? А если бы получилось (9,5 ± 0,1) м/с²?
Показать решение по шагам
- 1. Шаг 1 — что означает запись с погрешностью. Она задаёт интервал, в котором, по мнению экспериментатора, лежит истинное значение: от 9,5 − 0,4 = 9,1 до 9,5 + 0,4 = 9,9 м/с².
- 2. Шаг 2 — правило согласия: результат согласуется с табличным значением, если табличное значение попадает в этот интервал.
- 3. Шаг 3 — первый случай: 9,8 лежит между 9,1 и 9,9, значит, результат согласуется с теорией. Расхождение 0,3 м/с² меньше погрешности измерения и потому незначимо.
- 4. Шаг 4 — второй случай: интервал от 9,4 до 9,6, и 9,8 в него не попадает. Результат не согласуется с табличным значением, и это сигнал искать систематическую ошибку: не учтено трение, неверно измерена длина, секундомер включали с запозданием.
- 5. Шаг 5 — почему более точное измерение «хуже». Уменьшив погрешность, мы сузили интервал и тем самым повысили требования к самому измерению: теперь заметны те искажения, которые раньше тонули в разбросе. Так устроена вся экспериментальная физика: повышение точности обнаруживает эффекты, которых раньше не видели.
- 6. Шаг 6 — как это формулируют словами в ответе: «расхождение не превышает погрешности измерения, поэтому результаты согласуются» или «расхождение превышает погрешность, поэтому в опыте присутствует систематическая ошибка» ✔
Ответ: В первом случае согласуется: 9,8 попадает в интервал 9,1–9,9. Во втором не согласуется: интервал 9,4–9,6 не содержит табличного значения, и это указывает на систематическую ошибку опыта.
Разбор примера
Какое измерение точнее: сравниваем по относительной погрешности
Первый ученик измерил длину стола: l = (120,0 ± 0,5) см. Второй измерил диаметр проволоки: d = (0,80 ± 0,05) мм. Чьё измерение точнее?
Показать решение по шагам
- 1. Шаг 1 — сравнивать абсолютные погрешности бессмысленно: 0,5 см и 0,05 мм относятся к величинам совершенно разного масштаба.
- 2. Шаг 2 — считаем относительные погрешности. Первый: 0,5/120 ≈ 0,0042, то есть 0,42 %. Второй: 0,05/0,80 = 0,0625, то есть 6,25 %.
- 3. Шаг 3 — вывод: точнее измерение длины стола, хотя его абсолютная погрешность в сто раз больше. Именно относительная погрешность отвечает на вопрос «насколько велика неопределённость по сравнению с самой величиной».
- 4. Шаг 4 — практический смысл. Чтобы измерить диаметр проволоки точнее, нужен другой прибор: микрометр с погрешностью 0,01 мм даст 1,25 %, что уже приемлемо. Линейкой такую величину мерить бессмысленно в принципе.
- 5. Шаг 5 — приём, который применяют в лабораторных работах: измерить толщину пачки из ста листов и разделить на сто. Абсолютная погрешность остаётся прежней, а относительная уменьшается в сто раз. Тот же приём — измерение времени нескольких колебаний маятника вместо одного ✔
Ответ: Точнее измерение длины стола: его относительная погрешность 0,42 % против 6,25 % у измерения диаметра проволоки. Для тонкой проволоки нужен микрометр либо приём измерения по многим одинаковым объектам сразу.
Как уменьшают погрешность: четыре приёма
Погрешность нельзя убрать совсем, но её можно уменьшить, и способы зависят от типа погрешности.
1. Взять прибор точнее. Единственный способ уменьшить приборную погрешность. Линейка с миллиметровыми делениями не станет точнее от аккуратности: нужен штангенциркуль (0,1 мм) или микрометр (0,01 мм). Аналогично секундомер с ручным пуском заменяют электронной системой с датчиком.
2. Повторить измерение несколько раз и взять среднее. Работает против случайных погрешностей: отклонения в разные стороны частично гасят друг друга. Против систематической ошибки повторение бессильно — сколько раз ни взвешивай на весах, сбитых на 10 граммов, все результаты будут завышены одинаково.
3. Измерять «много сразу». Приём, которым пользуются в каждой лабораторной: измерить время 30 колебаний и разделить на 30; измерить толщину 100 листов и разделить на 100. Абсолютная погрешность одного отсчёта остаётся прежней, а относительная уменьшается во столько раз, сколько объектов или периодов взято.
4. Выбрать схему опыта, в которой измеряемая величина велика. Погрешность разности близких величин огромна, поэтому силу Архимеда измеряют на большом теле, а не на маленьком; удлинение пружины — при большой нагрузке; угол преломления — при большом угле падения. Продумать это нужно до опыта, а не после.
Как обнаружить систематическую ошибку. Единственный надёжный путь — сравнить с эталоном или другим методом: проверить весы гирей известной массы, измерить ту же величину другим прибором, сопоставить результат с табличным значением с учётом погрешности. Если расхождение превышает заявленную погрешность, дело не в случайности, а в самой постановке опыта.
Разбор примера
Задание 19: цена деления и запись результата на четырёх приборах
Определите цену деления, показание и погрешность для каждого прибора: 1) линейка, оцифрованная через 1 см, между подписями 10 промежутков, край предмета на седьмом малом штрихе после отметки 5 см; 2) динамометр, оцифрованный через 1 Н, между подписями 5 промежутков, стрелка на третьем штрихе после 2 Н; 3) мензурка, оцифрованная через 50 мл, между подписями 5 промежутков, уровень на втором штрихе после 100 мл; 4) секундомер с ценой деления 0,2 с, стрелка между отметками 12,4 и 12,6 с, ближе к 12,4.
Показать решение по шагам
- 1. Шаг 1 — линейка: C = 1 см / 10 = 0,1 см = 1 мм; показание 5 + 7·0,1 = 5,7 см; погрешность 0,5 мм = 0,05 см. Результат: (5,70 ± 0,05) см.
- 2. Шаг 2 — динамометр: C = 1 Н / 5 = 0,2 Н; показание 2 + 3·0,2 = 2,6 Н; погрешность 0,1 Н. Результат: (2,6 ± 0,1) Н.
- 3. Шаг 3 — мензурка: C = 50 мл / 5 = 10 мл; показание 100 + 2·10 = 120 мл; погрешность 5 мл. Результат: (120 ± 5) мл.
- 4. Шаг 4 — секундомер: цена деления дана — 0,2 с, погрешность 0,1 с. Стрелка между штрихами: записываем ближайший штрих 12,4 с, результат (12,4 ± 0,1) с. «На глаз» доли деления в школьных заданиях не оценивают.
- 5. Шаг 5 — общее правило, которое видно на всех четырёх: сначала цена деления, потом показание, потом половина цены деления. Порядок никогда не меняется.
- 6. Шаг 6 — и общая ошибка: считать штрихи вместо промежутков. Между подписями «0» и «1» с четырьмя промежуточными штрихами укладывается пять промежутков, а не четыре ✔
Ответ: 1) (5,70 ± 0,05) см; 2) (2,6 ± 0,1) Н; 3) (120 ± 5) мл; 4) (12,4 ± 0,1) с.
Вопрос на проверку
Ученик повторил измерение десять раз и взял среднее. Против какой погрешности это помогает?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Сводка по погрешностям. Приборная задаётся прибором (для шкалы — половина цены деления, для цифрового — единица последнего разряда) и уменьшается только заменой прибора. Случайная даёт разброс в обе стороны и уменьшается усреднением повторных измерений. Систематическая смещает результат всегда в одну сторону и повторением не устраняется — её ищут сравнением с эталоном или другим методом. Абсолютная погрешность имеет единицы измеряемой величины, относительная — безразмерна и показывает качество измерения. При сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности, при умножении и делении — относительные, а при возведении в квадрат относительная удваивается.
Вопрос на проверку
Величину вычисляют как произведение двух измеренных: относительные погрешности равны 2 % и 5 %. Какова относительная погрешность результата?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.