Сила Лоренца и движение частиц. Задание 12

Сила Ампера действует на проводник, но проводник — это множество движущихся зарядов. Значит, на каждый заряд в отдельности тоже действует сила. Она называется силой Лоренца:

F = |q|·B·v·sin α,

где α — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции. Направление находят тем же правилом левой руки, только вместо тока берут направление скорости положительного заряда (для отрицательного — направление, противоположное его скорости).

Самое важное свойство: сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости. Отсюда два следствия, которые надо понимать, а не заучивать.

Работы она не совершает. Работа равна F·s·cos α, а угол между силой и перемещением всё время равен 90°, значит косинус ноль. Следовательно, модуль скорости частицы не меняется, и её кинетическая энергия тоже. Магнитное поле не может ни разогнать, ни затормозить заряд — только повернуть.

Траектория — окружность или спираль. Постоянная по модулю сила, всё время перпендикулярная скорости, — это ровно условие движения по окружности. Если скорость перпендикулярна полю, получается окружность; если есть составляющая вдоль поля, она не меняется, и траектория становится винтовой линией (спиралью); если скорость вдоль поля, сила равна нулю и частица летит прямо.

Это и есть ответ на вопрос «зачем ускорители используют электрическое поле, а магнитное только поворачивает»: разогнать частицу может лишь электрическое поле, магнитное умеет только удерживать её на круговой орбите.

Выведем радиус траектории — это одна из тех формул, которые лучше уметь получать, чем помнить.

Сила Лоренца работает центростремительной силой: qvB = mv²/R. Сокращаем на v:

R = m·v / (q·B).

Читается так: тяжёлые и быстрые частицы летят по широким дугам, а сильное поле и большой заряд закручивают траекторию круче. Отсюда же способ измерять массу частиц: пропустив пучок через магнитное поле и измерив радиусы, можно разделить ионы по массам. На этом работает масс-спектрометр, и так же по кривизне треков определяют частицы в камере Вильсона и в детекторах ускорителей.

Период обращения получим из R = vT/(2π):

T = 2π·m / (q·B).

Здесь спрятан замечательный факт: период не зависит ни от скорости, ни от радиуса. Быстрая частица летит по большей окружности, но проходит её за то же время. Именно на этом свойстве построен циклотрон (1932): частица раскручивается по спирали, но ускоряющее напряжение можно менять с постоянной частотой, потому что период каждого витка один и тот же.

Где это видно в природе. Заряженные частицы солнечного ветра, подлетая к Земле, закручиваются вокруг линий её магнитного поля и стекают к полюсам, где и врезаются в атмосферу. Свечение возбуждённых атомов мы видим как полярное сияние. По той же причине магнитное поле Земли защищает биосферу от космических лучей: оно не останавливает частицы, а отклоняет их.

И в технике. В термоядерных установках плазму с температурой в сотни миллионов градусов удерживают именно магнитным полем: ни один материальный сосуд такого не выдержит, а магнитное поле стенок не имеет.

В задачах повышенного уровня заряд часто движется там, где есть и электрическое, и магнитное поле. Полная сила называется силой Лоренца в широком смысле и равна векторной сумме:

F = qE + qvB·sin α (по направлениям — по правилам для каждой части отдельно).

Две конфигурации встречаются чаще всего.

Скрещённые поля (селектор скоростей). Электрическое и магнитное поля перпендикулярны друг другу и скорости. Частица летит прямо только тогда, когда силы уравновешены: qE = qvB, откуда v = E/B. Заметь: условие не зависит ни от заряда, ни от массы. Через такой фильтр проходят только частицы с одной определённой скоростью, все остальные отклоняются и отсеиваются. Именно так готовят пучок для масс-спектрометра.

Ускорение полем и поворот магнитом. Сначала электрическое поле разгоняет заряд (qU = mv²/2), затем он влетает в магнитное поле и закручивается по окружности радиусом R = mv/(qB). Подставив скорость, получим R = √(2mU/q)/B — формулу, по которой масс-спектрометр определяет отношение массы к заряду. Разные изотопы одного элемента дают разные радиусы, и так их разделяют.

Тема даёт сразу несколько утверждений, которые в задании 18 проверяют почти дословно. Разберём их с объяснением, а не списком.

Сила Лоренца не совершает работы. Она перпендикулярна скорости, а работа силы, перпендикулярной перемещению, равна нулю. Следствия: в постоянном магнитном поле модуль скорости частицы не меняется, кинетическая энергия постоянна, меняется только направление движения. Разогнать заряд магнитным полем нельзя — разгоняет электрическое поле.

Сила зависит от угла. F = qvB·sin α, где α — угол между скоростью и линиями индукции. Если частица летит вдоль поля, сила равна нулю, и она движется прямолинейно и равномерно. Если перпендикулярно — сила максимальна, и траектория окружность. Под произвольным углом получается винтовая линия: составляющая скорости вдоль поля не меняется, поперечная закручивает.

Радиус и период. R = mv/(qB) — радиус растёт с массой и скоростью и убывает с зарядом и индукцией. T = 2πm/(qB) — период не зависит ни от скорости, ни от радиуса. Это и позволило построить циклотрон: как бы ни разгонялась частица, на один оборот у неё уходит одно и то же время, и ускоряющее напряжение можно менять с постоянной частотой.

Покоящийся заряд. На неподвижный заряд магнитное поле не действует вовсе: в формуле v = 0. Это тоже проверяемое утверждение.

Направление. Определяется правилом левой руки, причём для отрицательного заряда результат меняют на противоположный. Проверка: сила всегда перпендикулярна и скорости, и полю одновременно.

Где это работает. Масс-спектрометр разделяет ионы по массам; циклотрон разгоняет частицы по раскручивающейся спирали; магнитное поле Земли отклоняет космические частицы к полюсам — отсюда полярные сияния; электронно-лучевая трубка отклоняет пучок, формируя изображение.