Закон всемирного тяготения. Задание 2

Формула в таком виде верна в трёх случаях: тела точечные (их размеры много меньше расстояния между ними); тела — однородные шары (тогда R берут между центрами, и результат точный при любом расстоянии); одно тело — однородный шар, другое — точечное вне шара. Для тел произвольной формы, расположенных близко друг к другу, формула не работает: их пришлось бы разбивать на маленькие кусочки и складывать силы. Ещё одна граница: точка внутри однородного шара — там притяжение создаёт только та часть массы, что ближе к центру, и на самом деле сила растёт линейно от центра, а не по закону 1/R². Наконец, формула классическая: вблизи чёрных дыр и при скоростях, близких к скорости света, нужна общая теория относительности, но в ЕГЭ такие ситуации не встречаются.

До Ньютона считалось, что небо и Земля устроены по-разному: на Земле тела падают, на небе тела вечно кружат, и законы там разные. Ньютон предположил обратное: Луна тоже падает на Землю — просто она при этом ещё и летит вбок, поэтому промахивается мимо планеты снова и снова.

Проверить догадку можно арифметикой. Луна удалена от центра Земли примерно на 60 земных радиусов. Если сила убывает как 1/R², то ускорение Луны должно быть в 60² = 3600 раз меньше ускорения яблока, то есть около 9,8 / 3600 ≈ 0,0027 м/с². А теперь посчитаем ускорение Луны независимо, как центростремительное: a = 4π²R/T², где R ≈ 3,84·10⁸ м, а период обращения T ≈ 27,3 суток ≈ 2,36·10⁶ с. Получается a ≈ 4 · 9,87 · 3,84·10⁸ / (2,36·10⁶)² ≈ 0,0027 м/с². Числа совпали — значит, гипотеза о законе обратных квадратов верна.

Это и есть образец физического рассуждения: одну и ту же величину считают двумя независимыми способами, и совпадение служит доказательством. Такой ход мысли ценится и на экзамене — в задании 26 за обоснование модели дают баллы отдельно.

Саму постоянную G Ньютон измерить не мог: она слишком мала. Её впервые определил Генри Кавендиш в 1798 году крутильными весами — он измерял притяжение свинцовых шаров и по углу закручивания нити находил ничтожную силу. Опыт называли «взвешиванием Земли», потому что, зная G и g, сразу получаешь массу планеты: M = gR²/G.

Закон всемирного тяготения не был озарением под яблоней. Он вырос из астрономических таблиц, которые полвека до Ньютона разбирал Иоганн Кеплер.

Кеплер работал с наблюдениями Тихо Браге — самыми точными в дотелескопическую эпоху. Пытаясь описать движение Марса, он сначала честно перебрал круговые орбиты, не сошёлся с данными на восемь угловых минут и, вместо того чтобы списать расхождение на ошибку, отказался от круга. В «Новой астрономии» 1609 года появились первые два закона: орбита планеты — эллипс, в одном из фокусов которого Солнце, и радиус-вектор планеты за равные времена заметает равные площади. Второй закон означает, что вблизи Солнца планета движется быстрее, а вдали медленнее. Через десять лет, в «Гармонии мира» 1619 года, Кеплер нашёл третий закон: квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей орбит.

Это были правила, а не объяснение: почему именно так, Кеплер не знал.

Ньютон проделал обратный ход. Он показал, что если сила притяжения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, то все три закона Кеплера следуют математически. Проверить гипотезу можно было на Луне. Расстояние до Луны примерно в 60 раз больше радиуса Земли, значит, ускорение там должно быть в 60² = 3600 раз меньше, чем у поверхности: 9,8/3600 ≈ 0,0027 м/с². А из наблюдаемого периода обращения Луны (около 27,3 суток) и радиуса её орбиты то же ускорение считается по формуле a = 4π²R/T² — и даёт то же самое число.

Совпадение двух независимых расчётов и было доказательством. Заметь, какого именно рода это доказательство: не «сила тяготения существует, потому что тела падают», а «одна и та же формула с одним и тем же коэффициентом описывает и падение яблока, и обращение Луны». Универсальность — вот что делает закон всемирным.

У закона Ньютона был пробел: он говорил, что сила пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния, но чему равен коэффициент G, не знал никто. А без G формулу нельзя было применить ни к одной задаче, где не сравниваются две ситуации: массу Земли из астрономии добыть невозможно, потому что в астрономические формулы масса и G входят только произведением.

Решение нашёл англичанин Генри Кавендиш в 1798 году, воспользовавшись установкой, которую спроектировал Джон Мичелл. Идея такая. Притяжение между двумя свинцовыми шарами в лаборатории чудовищно мало́ — миллиардные доли ньютона. Прямо измерить его нечем. Но если подвесить лёгкое коромысло с двумя маленькими шариками на тонкой упругой нити, то даже ничтожная сила закрутит нить на заметный угол: у тонкой длинной нити жёсткость на кручение крайне мала. Угол поворота Кавендиш считывал по световому зайчику от зеркальца, закреплённого на нити, — приём, который потом разошёлся по всей экспериментальной физике.

Кавендиш подносил к маленьким шарикам большие свинцовые шары и измерял угол закручивания. Зная жёсткость нити (её определяли по периоду крутильных колебаний), он вычислил силу, а из неё — постоянную G. Сам он, впрочем, формулировал результат иначе: он «взвесил Землю», то есть нашёл её среднюю плотность, — 5,48 г/см³ по его расчётам против 5,51 по современным данным. Ошибка меньше процента для опыта, поставленного в 1798 году.

Современное значение постоянной: G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Обрати внимание на порядок: 10⁻¹¹ — это причина, по которой тяготение между обычными предметами незаметно. Два человека массой по 70 кг на расстоянии метра притягиваются с силой около 3·10⁻⁷ Н — в миллионы раз слабее веса комара. Тяготение выходит на первый план только тогда, когда одно из тел размером с планету.

Спутник падает. Всё время падает — и именно поэтому не приближается к Земле.

Мысленный эксперимент, который придумал сам Ньютон: поставим на вершину очень высокой горы пушку и будем стрелять горизонтально. При малой скорости ядро упадёт недалеко. Увеличим скорость — упадёт дальше. Ещё увеличим — и в какой-то момент поверхность Земли будет уходить вниз ровно так же быстро, как ядро снижается. Ядро промахнётся мимо Земли и облетит её по кругу. Эта скорость и называется первой космической.

Уравнение простое: роль центростремительной силы играет тяготение.

GMm/r² = mv²/r → v = √(GM/r)

Масса спутника сокращается: тяжёлый и лёгкий спутники на одной орбите летят с одинаковой скоростью. Отсюда же видно, что чем выше орбита, тем медленнее движется спутник — МКС на 400 км делает виток за полтора часа со скоростью 7,7 км/с, а геостационарный спутник на 36 000 км — за сутки со скоростью около 3 км/с.

Невесомость на орбите — не отсутствие тяжести. На высоте МКС g ещё около 8,7 м/с², то есть почти как на земле. Невесомость возникает потому, что станция и космонавт падают с одинаковым ускорением, и космонавт ни на что не давит. Ровно то же самое ты чувствуешь долю секунды в падающем лифте или на вершине трамплина.

Геостационарная орбита — отдельный сюжет. Чтобы спутник постоянно висел над одной точкой экватора, его период должен равняться суткам. Подставив T = 86 400 с в формулу r = ∛(GMT²/4π²), получаем радиус около 42 000 км от центра Земли, то есть высоту примерно 36 000 км. Именно там висят спутники телевидения — поэтому спутниковая тарелка наводится один раз и больше не поворачивается.

Оба числа выводятся в две строки, и выводить их надо уметь: на экзамене их спрашивают не «сколько», а «как изменится, если».

Первая космическая — скорость кругового движения у самой поверхности планеты. Единственная сила — тяготение, и она целиком расходуется на центростремительное ускорение: mg = mv²/R. Масса сокращается (снова!), остаётся v₁ = √(gR). Подставим g = 9,8 м/с² и R = 6400 км = 6,4·10⁶ м: v₁ = √(9,8 · 6,4·10⁶) ≈ 7,9·10³ м/с, то есть 7,9 км/с.

Обрати внимание на два следствия. Во-первых, скорость не зависит от массы спутника: и болт, и станция должны лететь одинаково. Во-вторых, чем выше орбита, тем меньше нужная скорость: в формуле v = √(GM/r) радиус стоит в знаменателе. Это контринтуитивно и потому часто спрашивается: «спутник перевели на более высокую орбиту — как изменилась его скорость?» Ответ: уменьшилась, хотя энергии на перевод пришлось затратить больше.

Вторая космическая — минимальная скорость, при которой тело уходит от планеты безвозвратно. Считается через энергию: кинетической энергии должно хватить, чтобы полностью «оплатить» потенциальную яму, mv²/2 = GMm/R. Снова сокращаем массу тела: v₂ = √(2GM/R) = √(2gR). Отсюда сразу видно главное соотношение: v₂ = v₁·√2 ≈ 11,2 км/с.

И маленькая проверка на понимание, которую любят в задании 2. Вторая космическая для Луны — 2,4 км/с, для Юпитера — около 60 км/с. Почему у Луны так мало? Потому что в формулу входит корень из отношения массы к радиусу, а у Луны масса меньше земной в 81 раз при радиусе меньше всего вчетверо. Именно из-за низкой второй космической Луна не удержала атмосферу: молекулы газа при дневных температурах разлетались быстрее, чем 2,4 км/с.