Задание 25 ОГЭ по математике

1. 1. Чертёж: равнобедренная трапеция, меньшее основание 4 сверху, большее 16 снизу, внутри — окружность, касающаяся всех четырёх сторон.
2. 2. Ищем, что даёт слово «вписана». Для четырёхугольника есть признак: окружность можно вписать тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Здесь противоположные стороны — это два основания и две боковые. Значит 4 + 16 = c + c, где c — боковая сторона (она одна, потому что трапеция равнобедренная).
3. 3. Отсюда 2c = 20 и c = 10. Боковая сторона найдена — а в условии её не было, и без признака вписанной окружности взять её было негде.
4. 4. Дополнительное построение: опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Появился прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — боковая сторона 10, а горизонтальный катет — та часть большего основания, что выступает за меньшее.
5. 5. Считаем этот катет. В равнобедренной трапеции выступы с двух сторон равны, вместе они составляют 16 − 4 = 12, значит каждый равен 6.
6. 6. По теореме Пифагора: h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, значит высота h = 8.
7. 7. Последний шаг — связать высоту с радиусом. Окружность касается обоих оснований, а они параллельны, значит расстояние между ними равно диаметру: h = 2r. Отсюда r = 8 : 2 = 4.
8. 8. Ответ: 4.
9. 9. Проверка на правдоподобие: радиус вписанной окружности не может быть больше половины высоты, и он в точности ей равен — сходится. Кроме того, диаметр 8 меньше меньшего основания 4? Нет, больше, — и это нормально: окружность касается оснований, а не вписывается между ними по горизонтали.
10. 10. Приём, который стоит вынести: в трапеции с вписанной окружностью два факта работают всегда. Первый: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Второй: высота равна диаметру. Вместе они позволяют найти всё, имея любые два размера.
11. 11. И родственная задача, решаемая теми же двумя фактами. «В равнобедренную трапецию вписана окружность, точка касания делит боковую сторону на отрезки 4 и 9. Найдите радиус.» Отрезки касания от вершины равны, поэтому половина меньшего основания равна 4, половина большего — 9; основания 8 и 18, боковая сторона 13, сумма оснований 26 = 13 + 13 — признак выполняется. Радиус здесь равен среднему геометрическому отрезков касания: r = √(4 · 9) = 6, потому что радиус в точку касания — высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу.

Ответ: 4

1. 1. Радиус вписанной окружности связан со сторонами через площадь: S = p · r, где p — полупериметр. Значит план такой: найти p, найти S, поделить.
2. 2. Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) : 2 = 42 : 2 = 21.
3. 3. Площадь по трём сторонам даёт формула Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Подставляем: S = √(21 · (21 − 13) · (21 − 14) · (21 − 15)) = √(21 · 8 · 7 · 6).
4. 4. Считаем под корнем аккуратно, разложив на множители, чтобы корень извлёкся: 21 · 6 = 126, 8 · 7 = 56, 126 · 56 = 7056. И √7056 = 84, потому что 84² = 7056. Значит S = 84.
5. 5. Теперь r = S : p = 84 : 21 = 4.
6. 6. Ответ: 4.
7. 7. Откуда берётся формула S = p · r, которую мы применили. Соединим центр вписанной окружности с тремя вершинами — треугольник разобьётся на три треугольника, у каждого основание равно стороне, а высота равна r (радиус в точку касания перпендикулярен стороне). Сложим их площади: S = ½ar + ½br + ½cr = ½r(a + b + c) = r · p. Формулу стоит уметь выводить: её часто просят обосновать, а не просто применить.
8. 8. Проверка на правдоподобие: радиус вписанной окружности обязан быть меньше половины наименьшей стороны, то есть меньше 6,5. Четыре — укладывается. Если бы вышло, скажем, 12, ошибку было бы видно сразу.
9. 9. Сравним с задачей на описанную окружность для того же треугольника, чтобы не путать формулы. R = abc / (4S) = 13 · 14 · 15 / (4 · 84) = 2730 / 336 = 8,125. Радиус описанной больше половины наибольшей стороны (7,5) — как и должно быть.
10. 10. И третий вопрос, который задают про те же три числа: высота к большей стороне. Из S = ½ · a · h получаем h = 2S / a = 2 · 84 / 15 = 11,2. Одна посчитанная площадь обслуживает сразу три задачи, поэтому в номере 25 её считают первым делом, даже когда о ней не спрашивают.

Ответ: 4

1. 1. Чертёж: остроугольный треугольник ABC, высота AA₁ из A на сторону BC, высота CC₁ из C на сторону AB, точка H их пересечения. Надпишем данные: AH = 5, HA₁ = 3 на первой высоте, CH = 4 на второй, и HC₁ = x — искомое.
2. 2. Прямого пути нет: ни подобие с ходу, ни теорема Пифагора здесь не применимы, потому что сторон нам не дали. Значит работает шаг с поиском скрытой окружности.
3. 3. Замечаем два прямых угла. ∠AC₁C = 90°, потому что CC₁ — высота к AB. ∠AA₁C = 90°, потому что AA₁ — высота к BC. Оба этих угла опираются на один и тот же отрезок AC.
4. 4. А это значит, что точки C₁ и A₁ лежат на окружности с диаметром AC: из каждой из них отрезок AC виден под прямым углом. Итого четыре точки A, C₁, A₁ и C лежат на одной окружности. Окружности в условии не было — мы её нашли.
5. 5. Теперь AA₁ и CC₁ — это хорды этой окружности, и пересекаются они в точке H внутри неё. Для пересекающихся хорд есть свойство: произведения отрезков равны. AH · HA₁ = CH · HC₁.
6. 6. Подставляем: 5 · 3 = 4 · x, то есть 15 = 4x, откуда x = 15 : 4 = 3,75.
7. 7. Ответ: 3,75.
8. 8. Заметьте, что ответ получился не целым, и это не признак ошибки: в линии 25 дробный ответ встречается часто, его записывают десятичной дробью через запятую — 3,75.
9. 9. Приём, ради которого стоит запомнить эту задачу, формулируется одной фразой: два прямых угла, опирающихся на один отрезок, дают четыре точки на одной окружности с этим отрезком в качестве диаметра. Он открывает свойство пересекающихся хорд там, где никакой окружности в условии не упоминалось, — а именно оно и превращает пятиминутную задачу в двухстрочную.
10. 10. Проверка правдоподобия: искомый отрезок HC₁ должен быть меньше CH = 4, потому что в остроугольном треугольнике точка H расположена так, что отрезок высоты до вершины длиннее отрезка до основания. 3,75 < 4 — сходится.
11. 11. И ещё одно следствие того же приёма, которое спрашивают отдельно. Свойство пересекающихся хорд имеет родственника для внешней точки: если из точки M вне окружности проведены две секущие, то MA · MB = MC · MD. Обе теоремы — об одном и том же произведении, и обе выводятся из подобия треугольников, которое даёт равенство вписанных углов.

Ответ: 3,75

1. 1. Чертёж: треугольник ABC, внутри точка O, отрезки OB и OC. Надпишем ∠A = 50°.
2. 2. Что даёт слово «вписанная». Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Значит OB — биссектриса угла B, а OC — биссектриса угла C. Это единственное, что нужно из условия: сама окружность в решении не участвует.
3. 3. Обозначим углы: ∠B = 2β, ∠C = 2γ (так удобнее, потому что биссектрисы дадут ровно β и γ). Тогда в треугольнике BOC при вершине B лежит угол β, при вершине C — угол γ.
4. 4. Сумма углов треугольника ABC: 50° + 2β + 2γ = 180°, значит 2β + 2γ = 130°, а β + γ = 65°.
5. 5. Теперь сумма углов треугольника BOC: ∠BOC = 180° − (β + γ) = 180° − 65° = 115°.
6. 6. Ответ: 115°.
7. 7. Полезно вывести из этого решения общую формулу, потому что задача повторяется с разными числами. ∠BOC = 180° − (∠B + ∠C)/2 = 180° − (180° − ∠A)/2 = 180° − 90° + ∠A/2 = 90° + ∠A/2. Для нашего случая: 90° + 25° = 115°. Формулу стоит знать, но на экзамене лучше всё равно провести вывод в две строки — он короткий и защищает от путаницы с похожей формулой.
8. 8. А похожая формула — про центр описанной окружности, и её постоянно смешивают с этой. Там ∠BOC = 2∠A (центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу), и для ∠A = 40° получилось бы 80°. Различение простое: вписанная окружность — центр на биссектрисах, формула 90° + ∠A/2; описанная — центр на серединных перпендикулярах, формула 2∠A.
9. 9. Проверка правдоподобия для нашей формулы: угол BOC всегда больше 90°, каким бы ни был угол A, потому что к 90° прибавляется положительная половина. Если в ответе вышел острый угол, значит перепутали вписанную окружность с описанной.
10. 10. И крайний случай, который помогает запомнить формулу: если ∠A стремится к 180°, треугольник вытягивается, и ∠BOC стремится к 180°; если ∠A стремится к 0, то ∠BOC стремится к 90°. То есть угол между биссектрисами двух углов всегда лежит между 90° и 180° — короткая проверка без всяких вычислений.

Ответ: 115°