Масштаб и расстояния по плану

Масштаб на планах пишут по-разному, а означает он одно и то же. Численный — дробь вида 1:10 000: числитель всегда 1, знаменатель показывает, во сколько раз план мельче местности. Именованный — словами: «в 1 см 100 м». Линейный — полоска с делениями, по которой расстояние снимают прямо циркулем или полоской бумаги. Перевод из численного в именованный делается в один ход: раздели знаменатель на 100, потому что в метре 100 сантиметров. 1:10 000 → 10 000 : 100 = 100 м в 1 см. 1:2 000 → 20 м в 1 см. Обратный ход тоже пригодится: если сказано «в 1 см 250 м», то численный масштаб равен 1:25 000 (250 × 100). Запомни главное правило сравнения: чем больше знаменатель, тем мельче масштаб и тем меньше подробностей на плане. Масштаб 1:5 000 крупнее, чем 1:100 000, хотя число 100 000 и выглядит внушительнее.

Формулировка линии 9 в банке всегда одна и та же: «Рассмотрите фрагмент топографической карты. Определите по карте расстояние на местности по прямой от точки А до точки В». То есть сначала лист карты, и только потом вычисление. Ученик, который выучил перевод масштаба, но ни разу не держал перед глазами настоящий фрагмент, теряет балл не на арифметике, а на чтении листа: не понимает, где кончается подпись и начинается знак, путает точку с буквой, ищет линейный масштаб не там.

Что обязательно есть на любом фрагменте. Во-первых, стрелка «С — Ю» в углу: она показывает, где север, и без неё нельзя решать задание 10. Во-вторых, численный и именованный масштаб под рамкой («Масштаб 1:10 000. В 1 см 100 м») и рядом линейный масштаб — полоска с делениями. В-третьих, высота сечения рельефа: «Горизонтали проведены через 2,5 метра» — это нужно для задания 11. В-четвёртых, таблица условных знаков: луг, лес, кустарник, обрыв, река со стрелкой течения, просёлочная дорога, тропа, мост, родник, колодец, пункт государственной геодезической сети, отметка высоты.

Что нанесено на сам лист. Буквы А, В, Б — точки, между которыми меряют расстояние и направление. Цифры 1, 2, 3 в рамках — участки, из которых в задании 12 выбирают подходящий под задачу. Плюс отдельные объекты: родник, колодец, геодезический пункт с подписанной высотой, мост через реку.

Один и тот же фрагмент обслуживает четыре задания подряд — 9, 10, 11 и 12, то есть 5 баллов из 31. Это шестая часть работы, и вся она снимается с одного листа. Поэтому лист стоит рассмотреть внимательно один раз, а дальше отвечать на четыре вопроса, не возвращаясь к нему заново.

Измерение — самая механическая часть задания, и именно в ней теряют балл чаще, чем в переводе масштаба.

Первое: прикладывайте линейку к точкам, а не к буквам. На карте буква А стоит рядом со своей точкой, а не на ней: сама точка — маленький чёрный кружок диаметром около миллиметра. Разница между центром буквы и центром точки на листе бывает 3–4 мм, а это при масштабе 1:10 000 целых 30–40 метров — ровно та величина, из-за которой ответ выходит за допустимый интервал.

Второе: «по прямой» значит по прямой. Задание 9 никогда не просит измерить длину дороги или изгиб реки — только отрезок. Линейку кладут по кратчайшему пути, даже если он пересекает реку, обрыв и лес.

Третье: читайте до миллиметра. Школьная линейка размечена по миллиметрам, миллиметр — это 0,1 см. Записывайте измерение именно так: не «около пяти сантиметров», а «4,8 см». Половинки миллиметра оценивать не надо: составители заложили в ключ интервал допуска, обычно ±10–20 метров, и честное измерение до миллиметра в него всегда попадает.

Четвёртое: линейный масштаб — запасной способ. Если линейки нет под рукой или лист распечатан не в том размере, расстояние снимают по полоске линейного масштаба под картой: прикладывают к ней край листа бумаги с отмеченным отрезком и считают, сколько делений уложилось. Этот способ не зависит от того, в каком масштабе распечатали лист, поэтому он надёжнее линейки.

И последнее: ответ пишут числом. В бланк идёт только число метров — «480», без слова «метров» и без единиц. Формулировка «Ответ запишите в виде числа» в условии стоит не случайно.

Школьники регулярно спотыкаются о выражение «карта крупного масштаба». Кажется, что крупный масштаб — это большая территория. На самом деле наоборот.

Масштаб — это дробь 1/10 000, 1/100 000, 1/1 000 000. Чем больше знаменатель, тем меньше сама дробь, то есть тем мельче масштаб. Поэтому:

• • 1:1000 — очень крупный масштаб. В 1 см всего 10 м, на листе помещается школьный двор, зато видны отдельные деревья и дорожки.
• • 1:10 000 — масштаб топографических планов и фрагментов в КИМ ОГЭ. В 1 см 100 м, на листе — деревня с окрестностями.
• • 1:100 000 — «километровка». В 1 см 1 км, на листе — район области.
• • 1:10 000 000 — мелкий масштаб школьной карты мира. В 1 см 100 км, на листе — целый материк, но ни одной деревни на нём не найти.

Отсюда правило, которое стоит проговорить вслух: чем крупнее масштаб, тем меньше охват и тем больше подробностей. План местности всегда крупномасштабен, карта мира — всегда мелкомасштабна. И ещё одно следствие: на плане нет искажений, потому что кусок земли в несколько километров можно считать плоским, а на мелкомасштабной карте искажения неизбежны — шар на плоскость без искажений не разворачивается.

В ОГЭ прямого вопроса «какой масштаб крупнее» в первой части нет, но различение нужно в задании 1 и в заданиях на источники информации: «Какая карта нужна, чтобы измерить длину футбольного поля?» — конечно, крупномасштабный план, а не карта области.

Стоит увидеть связь между заданиями 9–12 — и лист карты перестаёт быть чужим.

Задание 9 — длина. Линейка, отрезок, масштаб. Ответ в метрах, округление до десятков.

Задание 10 — направление. Стрелка «С — Ю», мысленные оси через исходную точку, румб: север, северо-восток, восток и так далее. Ответ — слово.

Задание 11 — профиль. Горизонтали, высота сечения, подъёмы и спуски по линии А — В. Ответ — номер одного из четырёх предложенных рисунков профиля.

Задание 12 — выбор участка. Три пронумерованных квадрата, из них надо выбрать один под задачу («зимняя горка», «палаточный лагерь», «наблюдение за окрестностями», «сад») и привести два довода. Это единственное задание блока с развёрнутым ответом: 2 балла и 15 минут по плану ФИПИ — самое дорогое задание всей работы.

Важно, что доводы в задании 12 берутся с того же листа, что и измерения: крутизна склона видна по сгущению горизонталей, освещённость — по экспозиции (южный склон теплее северного), пригодность площадки — по условному знаку (луг годится, лес и болото нет), безопасность — по расстоянию до обрыва и реки. То есть внимательное чтение листа в задании 9 окупается трижды.

Задание 9 — единственное в первой части, где ответ ученика заведомо не совпадёт с эталоном до единицы: измерение линейкой по бумаге принципиально неточно. Составители это знают и закладывают интервал допуска. Формулировка «Полученный результат округлите до десятков метров» в условии стоит именно для этого: она приводит все честные измерения к общему виду.

Посчитаем, какова цена миллиметра. При масштабе 1:10 000 один миллиметр на листе — это 10 метров на местности. Значит, если два человека измерят один отрезок как 4,7 и 4,9 см, их ответы разойдутся на 20 метров — и оба попадут в допуск. А вот при масштабе 1:25 000 миллиметр стоит уже 25 метров, и та же неточность даёт разброс в 50 метров: чем мельче масштаб, тем дороже каждый миллиметр и тем аккуратнее надо мерить.

Но допуск не спасает от ошибки в переводе масштаба. Если вместо 100 м в сантиметре взять 10 м, ответ выйдет в десять раз меньше: вместо 480 получится 48. Никакой допуск такую разницу не покрывает. То же с обратной ошибкой: 4,8 см при «1000 м в 1 см» дадут 4800. Поэтому перевод масштаба стоит проверять вслух: «десять тысяч, делим на сто, получается сто метров в сантиметре».

Простой самоконтроль. Прикиньте ответ до вычисления. Фрагмент в КИМ — это примерно километр на километр местности. Если отрезок занял половину ширины листа, ответ должен быть около 500 м. Получилось 50 или 5000 — считайте заново.

Умение переводить масштаб выходит далеко за пределы задания 9.

Задание 1 просит выбрать источник информации: «С помощью какой карты можно определить, каким способом изображён рельеф?» Ответ зависит от масштаба: планы и крупномасштабные карты показывают рельеф горизонталями, мелкомасштабные — послойной окраской (чем выше, тем темнее коричневый). Это разные способы, и путать их нельзя.

Задания 16 и 17 дают таблицу с высотой пунктов над уровнем моря. Высота — та же вертикальная величина, что и отметки на плане, и читается она так же: чем выше пункт, тем ниже температура (примерно на 0,6 °C каждые 100 м, задание 13).

Задание 25 про плотность населения — это тоже отношение величины к площади, и площадь берут с карты. Разница между «человек на квадратный километр» в Московской области (около 170) и в Чукотском автономном округе (около 0,07) объясняется в том числе тем, что на мелкомасштабной карте эти территории выглядят сопоставимо, а по площади различаются в сотни раз.

Общее у всех этих сюжетов одно: карта — это модель, у которой есть правило пересчёта в реальность. Масштаб и есть это правило. Ученик, который держит его в голове, перестаёт верить глазам («Гренландия же огромная!») и начинает верить числам.